Тема 5.2. Найбільше та найменше значення функції

Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкненій області . За теоремою Вейєрштрасса в цій області функція досягає найбільше та найменше значення. Якщо точка, в якій функція досягає найбільше (найменше) значення, лежить в середині області D, то ця точка є серед критичних точок. Але своє найбільше (найменше) значення функція може мати і на границі області . Тому для того, щоб знайти найбільше (найменше) значення функції, необхідно знайти всі критичні точки, обчислити всі значення функції в цих точках і порівняти їх з значеннями функції на границі. Найбільше (найменше) з цих значень буде найбільшим (найменшим) значенням функції у всій області .

Приклад

Знайти найбільше та найменше значення функції

в трикутнику, обмеженому прямими

Розв’язання. Знайдемо критичні точки функції:

В середині даної області Тому

В критичній точці М₁(2;1): z(2;1)=4.

Дослідимо поведінку функції на границі області.

1. на прямій х=0 і z=0;

2. на прямій у=0 і z=0;

3. на прямій у=6-х,

Знайдемо найбільше та найменше значення функції

Прирівнюючи всі значення , виводимо, що