Нехай функція визначена і неперервна в обмеженій замкненій області . За теоремою Вейєрштрасса в цій області функція досягає найбільше та найменше значення. Якщо точка, в якій функція досягає найбільше (найменше) значення, лежить в середині області D, то ця точка є серед критичних точок. Але своє найбільше (найменше) значення функція може мати і на границі області . Тому для того, щоб знайти найбільше (найменше) значення функції, необхідно знайти всі критичні точки, обчислити всі значення функції в цих точках і порівняти їх з значеннями функції на границі. Найбільше (найменше) з цих значень буде найбільшим (найменшим) значенням функції у всій області .
Приклад
Знайти найбільше та найменше значення функції
в трикутнику, обмеженому прямими
Розв’язання. Знайдемо критичні точки функції:
В середині даної області Тому
В критичній точці М1(2;1): z(2;1)=4.
Дослідимо поведінку функції на границі області.
1. на прямій х=0 і z=0;
2. на прямій у=0 і z=0;
3. на прямій у=6-х,
Знайдемо найбільше та найменше значення функції
Прирівнюючи всі значення , виводимо, що