Тема 5.1. Диференціал функції від двох змінних та його застосування

Якщо функція диференційовна в точці , то її повний приріст у цій точці

,

де та - нескінченно малі функції при , .

Означення 5.7. Головна, лінійна відносно приростів та частина повного приросту функції у точці називається диференціалом цієї функції в точці М:

Диференціалами незалежних змінних х та у назвемо їх прирости: . Тоді повний диференціал запишемо у вигляді

Вирази та називають частинними дифереціалами функції по х та у відповідно. Отже,

Приклад.

Знайти повний диференціал функції

Розв’язання. Знайдемо частинні похідні:

Згідно з формулою (5.11) дістанемо

Розглянемо застосування повного диференціала в наближених обчисленнях.

Якщо функція диференційована в точці , то

Звідки

Цю формулу використовують в наближених обчисленнях.

Приклад 1. Обчислити наближено (1,04)^2,02.

Розв’язання. Розглянемо функцію та знайдемо її частинні похідні

.

Виберемо х₀=1, у₀=2, тоді .

Знаходимо

За формулою (4.13) дістанемо

Отже, (1,04)^2,02 .

Розглянемо ще застосування повного диференціала для оцінки похибки при наближених обчисленнях.

Якщо максимальні похибки в знаходженні приросту функції та незалежних змінних позначити відповідно , , то для оцінки похибки наближених обчислень маємо формулу

Приклад 2. Гіпотенуза прямокутного трикутника , а гострий кут З якою точністю можна знайти протилежний цьому кутові катет?

Розв’язання. Довжину катета позначимо через z. Тоді

Виберемо х=100;

Тоді

Вправи

Обчислити dz та d²z функцій

1.

2. .

3.

4.