Тема 4.2 . Правила Лопіталя

При дослідженні функцій виникає необхідність знаходити границі дробу , чисельник і знаменник якого при прямують до нуля або до безмежності. Знаходження таких границь називають розкриттям невизначеностей. Найбільш простим і ефективним методом розкриття невизначеностей є правила Лопіталя.

Теорема 1. (перше правило Лопіталя). Нехай для функцій і виконуються умови:

1) функції визначені в інтервалі і при цьому

2) і диференційовні, причому ;

3) існує (скінченна або нескінченна) границя

Тоді існує границя відношення при і

Доведення. Для функції і є диференційовні. Отже, дані функції в цьому інтервалі неперервні. Довизначимо функції і в точці так

Отже, тепер і є неперервними на будь-якому відрізку , де . Тому до функцій і можна застосувати теорему Коші на відрізку

Якщо тепер , то й і з попередньої рівності дістаємо

Теорему доведено.

Приклад. Знайти

.

Розв’язання.

Нехай

Отже,

Може статися, що поряд з рівностями

виконуються також рівності

Тоді

.

Взагалі, при виконанні відповідних умов цю процедуру можна застосовувати кілька разів.

Вправи

Вправи

Знайти границі функцій:

1. (Відп. 0)

2. . (Відп. 0)

3. . (Відп. 1)

4. . (Відп. )

Зробимо ще таке зауваження. За допомогою тотожних перетворень до основних випадків або можна звести і невизначеності інших типів: ; ; ; ; .

Справді, нехай маємо невизначеність :

.

Тоді

.

Дістали невизначеність .

Приклад. Знайти

.

Розв’язання. .

Але

.

Маємо

Якщо маємо невизначеність :

то різницю можна записати

.

Дістали невизначеність виду .

Приклад. Знайти

.

Розв'язання. .

Отже,

Якщо маємо степінь

і

то використовуємо рівність

і справа зводиться до розкриття невизначеності вигляду у показнику.

Аналогічно розкриваються невизначеності , .

Приклад. Знайти

.

Розв’язання.

Отже,

.

Вправи

Знайти границі функцій

1. (Відп. 1)

2. . (Відп. 0)

3. (Відп. )

4. . (Відп. )

5. . (Відп. 1)

6. . (Відп. )

7. . (Відп. 2)

8. (Відп. )