При дослідженні функцій виникає необхідність знаходити границі дробу , чисельник і знаменник якого при прямують до нуля або до безмежності. Знаходження таких границь називають розкриттям невизначеностей. Найбільш простим і ефективним методом розкриття невизначеностей є правила Лопіталя.
Теорема 1. (перше правило Лопіталя). Нехай для функцій і виконуються умови:
1) функції визначені в інтервалі і при цьому
2) і диференційовні, причому ;
3) існує (скінченна або нескінченна) границя
Тоді існує границя відношення при і
Доведення. Для функції і є диференційовні. Отже, дані функції в цьому інтервалі неперервні. Довизначимо функції і в точці так
Отже, тепер і є неперервними на будь-якому відрізку , де . Тому до функцій і можна застосувати теорему Коші на відрізку
Якщо тепер , то й і з попередньої рівності дістаємо
Теорему доведено.
Приклад. Знайти
.
Розв’язання.
Нехай
Отже,
Може статися, що поряд з рівностями
виконуються також рівності
Тоді
.
Взагалі, при виконанні відповідних умов цю процедуру можна застосовувати кілька разів.
Вправи
Знайти границі функцій
1. (Відп. 1)
2. (Відп. )
3. (Відп. 2)
4. . (Відп. )
5. (Відп. 1)
При розкритті невизначеностей типу діє теорема, яку наводимо без доведення.
Теорема 2 (друге правило Лопіталя). Нехай для функцій і виконуються умови:
1. Функції визначені в інтервалі , і при цьому
2. Функції диференційовні в інтервалі , причому
.
3. Існує (скінченна або нескінченна) границя
.
Тоді й
Приклад. Знайти
.
Розв’язання. ..
.
Вправи
Знайти границі функцій:
1. (Відп. 0)
2. . (Відп. 0)
3. . (Відп. 1)
4. . (Відп. )
Зробимо ще таке зауваження. За допомогою тотожних перетворень до основних випадків або можна звести і невизначеності інших типів: ; ; ; ; .
Справді, нехай маємо невизначеність :
.
Тоді
.
Дістали невизначеність .
Приклад. Знайти
.
Розв’язання. .
Але
.
Маємо
Якщо маємо невизначеність :
то різницю можна записати
.
Дістали невизначеність виду .
Приклад. Знайти
.
Розв'язання. .
Отже,
Якщо маємо степінь
і
то використовуємо рівність
і справа зводиться до розкриття невизначеності вигляду у показнику.
Аналогічно розкриваються невизначеності , .
Приклад. Знайти
.
Розв’язання.
Отже,
.
Вправи
Знайти границі функцій
1. (Відп. 1)
2. . (Відп. 0)
3. (Відп. )
4. . (Відп. )
5. . (Відп. 1)
6. . (Відп. )
7. . (Відп. 2)
8. (Відп. )