русс | укр

Мови програмуванняВідео уроки php mysqlПаскальСіАсемблерJavaMatlabPhpHtmlJavaScriptCSSC#DelphiТурбо Пролог

Компьютерные сетиСистемное программное обеспечениеИнформационные технологииПрограммирование


Linux Unix Алгоритмічні мови Архітектура мікроконтролерів Введення в розробку розподілених інформаційних систем Дискретна математика Інформаційне обслуговування користувачів Інформація та моделювання в управлінні виробництвом Комп'ютерна графіка Лекції


Теореми про середнє значення


Дата додавання: 2015-01-08; переглядів: 1901.


В усіх цих теоремах йдеться про те, що коли функція та її похідна першого порядку задовольняють певним умовам, то всередині інтервалу знайдеться точка, в якій функція має певні властивості (про ці властивості йдеться в теоремі). Тому й самі теореми називають теоремами про середнє.

Теорема Ролля. Нехай функція задовольняє умовам:

1) визначена і неперервна на відрізку ;

2) диференційовна в інтервалі ;

3) на кінцях відрізку набуває однакових значень: .

Тоді всередині інтервалу існує принаймні одна точка , в якій .

Доведення. Оскільки функція за умовою теореми неперервна на відрізку , то вона набуває на ньому найбільшого значення М і найменшого значення m.

Якщо М=m, то для і тому за точку можна взяти будь-яку точку інтервалу .

Якщо , а , то принаймні одне з значень m або М досягається у внутрішній точці відрізку . Нехай, наприклад, в точці с функція набуває найменшого значення: .

Покажемо, що .

Справді, для досить малих точка , причому

при ,

при .

Тому

при ,

при .

Границя відношень при існує і дорівнює похідній , тому

.

Звідси маємо, що .

Теорему доведено.

Геометрично теорема Ролля означає, що серед усіх дотичних до графіка функції знайдеться принаймні одна, паралельна осі Ох.

Теорема Лагранжа. Якщо функція :

1) задана і неперервна на відрізку ;

2) диференційовна в інтервалі .

Тоді існує принаймні одна точка така, що

(4.25)

Доведення. Розглянемо допоміжну функцію

.

Функція задовольняє всі умови теореми Ролля. Вона неперервна на відрізку (як різниця двох неперервних функцій); диференційовна на , причому

;

.

Отже, існує точка , в якій або, що те саме

,

звідки

.

Теорему доведено.

Геометрично теорема Лагранжа означає, що серед усіх дотичних до графіка функції знайдеться принаймні одна, паралельна січній, яка проходить через точки і .

Зауваження. Рівність

називається формулою Лагранжа. Її запишемо трохи інакше. Введемо позначення

тоді

Тому

.

Покладаючи , матимемо

(4.26)

Формулу (4.26) називають формулою скінченних приростів.

Наслідок 1. Якщо функція на проміжку має похідну і при будь-якому , то на даному проміжку є сталою.

Наслідок 2. Якщо функції і на проміжку мають похідні , і при будь-якому = , то різниця між цими функціями - є величина стала.

Теорема Коші. Нехай

1) функції і задані і неперервні на відрізку ;

2) диференційовні в інтервалі ;

3) похідна для .

Тоді існує принаймні одна точка так, що

. (4.27)

Доведення. Розглянемо на відрізку таку функцію

.

Цю функцію можна розглядати на відрізку , бо , оскільки у протилежному випадку для функції знайдеться принаймні одна точка така, що . А це суперечить умові, що для .

Функція задовольняє всім умовам теореми Ролля. Тому існує принаймні одна точка така, що або, що те саме

.

Звідси маємо

.

 


<== попередня лекція | наступна лекція ==>
Тема 4.1. Диференціали вищих порядків | Тема 4.2 . Правила Лопіталя


Онлайн система числення Калькулятор онлайн звичайний Науковий калькулятор онлайн