В усіх цих теоремах йдеться про те, що коли функція та її похідна першого порядку задовольняють певним умовам, то всередині інтервалу знайдеться точка, в якій функція має певні властивості (про ці властивості йдеться в теоремі). Тому й самі теореми називають теоремами про середнє.
Теорема Ролля. Нехай функція 
задовольняє умовам:
1) визначена і неперервна на відрізку 
;
2) диференційовна в інтервалі 
;
3) на кінцях відрізку набуває однакових значень: 
.
Тоді всередині інтервалу існує принаймні одна точка 
, в якій 
.
Доведення. Оскільки функція за умовою теореми неперервна на відрізку , то вона набуває на ньому найбільшого значення М і найменшого значення m.
Якщо М=m, то 
для 
і тому за точку 
можна взяти будь-яку точку інтервалу .
Якщо 
, а , то принаймні одне з значень m або М досягається у внутрішній точці відрізку . Нехай, наприклад, в точці с функція набуває найменшого значення: 
.
Покажемо, що .
Справді, для досить малих 
точка 
, причому
при 
,
при 
.
Тому
при ,
при .
Границя відношень при 
існує і дорівнює похідній 
, тому
.
Звідси маємо, що .
Теорему доведено.
Геометрично теорема Ролля означає, що серед усіх дотичних до графіка функції 
знайдеться принаймні одна, паралельна осі Ох.
Теорема Лагранжа. Якщо функція :
1) задана і неперервна на відрізку ;
2) диференційовна в інтервалі .
Тоді існує принаймні одна точка така, що
(4.25)
Доведення. Розглянемо допоміжну функцію
.
Функція 
задовольняє всі умови теореми Ролля. Вона неперервна на відрізку (як різниця двох неперервних функцій); диференційовна на , причому
;
.
Отже, існує точка , в якій 
або, що те саме
,
звідки
.
Теорему доведено.
Геометрично теорема Лагранжа означає, що серед усіх дотичних до графіка функції знайдеться принаймні одна, паралельна січній, яка проходить через точки 
і 
.
Зауваження. Рівність
називається формулою Лагранжа. Її запишемо трохи інакше. Введемо позначення
тоді
Тому
.
Покладаючи 
, матимемо
(4.26)
Формулу (4.26) називають формулою скінченних приростів.
Наслідок 1. Якщо функція на проміжку 
має похідну 
і 
при будь-якому 
, то на даному проміжку є сталою.
Наслідок 2. Якщо функції і 
на проміжку 
мають похідні , 
і при будь-якому = , то різниця між цими функціями - є величина стала.
Теорема Коші. Нехай
1) функції і задані і неперервні на відрізку ;
2) диференційовні в інтервалі ;
3) похідна 
для 
.
Тоді існує принаймні одна точка так, що
. (4.27)
Доведення. Розглянемо на відрізку таку функцію
.
Цю функцію можна розглядати на відрізку , бо 
, оскільки у протилежному випадку для функції знайдеться принаймні одна точка така, що 
. А це суперечить умові, що 
для .
Функція задовольняє всім умовам теореми Ролля. Тому існує принаймні одна точка така, що або, що те саме
.
Звідси маємо
.
