Тема 3.3 Класифікація розривів функції

Залежно від того яка з умов неперервності не виконується, точки розриву поділяють на два роди.

Означення . Точка розриву функції називається точкою розриву першого роду, якщо в цій точці існують скінченні лівостороння і правостороння границі. Якщо границі рівні між собою, то точка називається точкою поправного розриву.

Точка розриву функції називається точкою розриву другого роду, якщо в ній не існує принаймні одна з односторонніх границь.

Приклади

Для даних функцій знайти точки розриву і визначити характер розриву:

1) 2) 3) 4)

Розв’язання. 1) Дана функція визначена при всіх значеннях х, крім точки х=3. Для визначення характеру розриву знайдемо лівосторонню і правосторонню границі функції при :

Отже, х=3 – точка розриву другого роду.

2) Точками розриву даної функції є точки х=2 та х=4, в яких знаменник дробу дорівнює нулю. Легко бачити, що в цих точках функція має нескінченні розриви, а звідси х=2 та х=4 – точки розриву другого роду.

3) Дана функція визначена при всіх значеннях х, крім х=0. Знайдемо лівосторонню і правосторонню границі функції при :

х=0 – точка розриву другого роду.

4) Для даної функції єдиною точкою розриву є точка х=0. Знайдемо односторонні границі цієї функції при :

Оскільки лівостороння і правостороння границі даної функції при є скінченими, то х=0 – точка розриву першого роду.