Тема 3.2 Означення неперервності функції

Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку і нехай - довільна внутрішня точка цього проміжку.

Означення .Функція неперервною в точці , якщо .

Звідси дістанемо необхідні та достатні умови того, щоб функція була неперервною в точці :

1) функція визначена в точці ;

2) існує лівостороння границя функції в точці – число ;

3) існує правостороння границя функції в точці – число ;

4) лівостороння і правостороння границі рівні

= ;

5) лівостороння і правостороння границі в точці дорівнюють значенню функції в цій точці

= .

Якщо хоч одна з цих умов не виконується в точці , то функція в цій точці називається розривною, а сама точка називається точкою розриву функції.

Використавши означення границі функції в точці, можна дати таке означення неперервності функції в точці.

Означення .Функція називається неперервною в точці , якщо для будь якого як завгодно малого числа існує таке число , що для всіх ,, які задовольняють неревність виконується нерівність .

Зауваження. На практиці при дослідженні функцій на неперервність найчастіше користуються означенням неперервності функції, яке базується на понятті приросту функції в точці.

Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку . Візьмемо дві довільні точки з цього проміжку і , де .

Тоді число називається приростом аргументу, а число - приростом функції в точці .

Означення .Функція називається неперервною в точці , якщо