Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку і нехай - довільна внутрішня точка цього проміжку.
Означення .Функція неперервною в точці , якщо .
Звідси дістанемо необхідні та достатні умови того, щоб функція була неперервною в точці :
1) функція визначена в точці ;
2) існує лівостороння границя функції в точці – число ;
3) існує правостороння границя функції в точці – число ;
4) лівостороння і правостороння границі рівні
= ;
5) лівостороння і правостороння границі в точці дорівнюють значенню функції в цій точці
= .
Якщо хоч одна з цих умов не виконується в точці , то функція в цій точці називається розривною, а сама точка називається точкою розриву функції.
Використавши означення границі функції в точці, можна дати таке означення неперервності функції в точці.
Означення .Функція називається неперервною в точці , якщо для будь якого як завгодно малого числа існує таке число , що для всіх ,, які задовольняють неревність виконується нерівність .
Зауваження. На практиці при дослідженні функцій на неперервність найчастіше користуються означенням неперервності функції, яке базується на понятті приросту функції в точці.
Нехай функція визначена в усіх точках деякого проміжку . Візьмемо дві довільні точки з цього проміжку і , де .
Тоді число називається приростом аргументу, а число - приростом функції в точці .
Означення .Функція називається неперервною в точці , якщо