Доведемо, що .
Доведемо спочатку, що , . Застосувавши до виразу
біном Ньютона, дістанемо
або
Знайдемо тепер
Звідси виводимо, що змінна величина - зростаюча змінна величина при зростаючому n.
Крім того, змінна величина обмежена зверху. Справді, враховуючи, що
і т.д.
матимемо нерівність
а враховуючи ще що
дістанемо
Отже,
Оскільки змінна величина - зростаюча і обмежена, то вона має границю. Цю границю позначають буквою е:
Доведемо тепер, що .
Розглянемо спочатку випадок, коли . Кожне його значення знаходиться між двома додатними цілими числами
Тому виконується нерівність
Зауважимо, що якщо , то і . Знаходимо
А отже
Розглянемо далі випадок, коди . Введемо нову змінну ; і при . Можемо написати
Поєднуючи обидва випадки, дістанемо остаточно
.
Зауваження. Інша форма запису другої особливої границі має вигляд
(3.10)
Приклади
1. .
2.
Вправи
Знайти границі
1. (Відп. е-1)
2. (Відп. е3)
3. (Відп. е-1)
4. (Відп. е)
5. (Відп. е-1)