Друга особлива границя

Доведемо, що .

Доведемо спочатку, що , . Застосувавши до виразу

біном Ньютона, дістанемо

або

Знайдемо тепер

Звідси виводимо, що змінна величина - зростаюча змінна величина при зростаючому n.

Крім того, змінна величина обмежена зверху. Справді, враховуючи, що

і т.д.

матимемо нерівність

а враховуючи ще що

дістанемо

Отже,

Оскільки змінна величина - зростаюча і обмежена, то вона має границю. Цю границю позначають буквою е:

Доведемо тепер, що .

Розглянемо спочатку випадок, коли . Кожне його значення знаходиться між двома додатними цілими числами

Тому виконується нерівність

Зауважимо, що якщо , то і . Знаходимо

А отже

Розглянемо далі випадок, коди . Введемо нову змінну ; і при . Можемо написати

Поєднуючи обидва випадки, дістанемо остаточно

.

Зауваження. Інша форма запису другої особливої границі має вигляд

(3.10)

Приклади

1. .

2.

Вправи

Знайти границі

1. (Відп. е^-1)

2. (Відп. е³)

3. (Відп. е^-1)

4. (Відп. е)

5. (Відп. е^-1)