Перша особлива границя

Доведемо, що

Візьмемо коло радіуса R=1 і центральний кут з радіанною мірою х ( ). Проведемо хорду АМ і дотичну AN, що перетинає продовження радіуса ОМ у точці N.

Очевидно, що

площа < площі сектора АОМ < площі ,

або, що те саме,

.

Оскільки ОА=1, РМ= , AN=tg x, , то останні нерівності набувають вигляду:

після скорочення на маємо:

Беручи до уваги, що при , поділимо ці нерівності на sinx. Знайдемо

,

або

;

звідки

Оскільки , то , а тому при

Отже при

Перейшовши в цих нерівностях до границі при , дістанемо

тобто

.

Задачу для розв’язано.

Нехай тепер . Введемо нову змінну за формулою

.

Тоді

Зауваження. При розв’язанні цієї задачі ми не робили ніякого припущення про те, що х є строго аргументом. Тому доведену рівність записують ще й так:

.

Приклади

1. Знайти .

Розв’язання

2. Знайти .

Розв’язання.