Доведемо, що
Візьмемо коло радіуса R=1 і центральний кут з радіанною мірою х ( ). Проведемо хорду АМ і дотичну AN, що перетинає продовження радіуса ОМ у точці N.
Очевидно, що
площа < площі сектора АОМ < площі ,
або, що те саме,
.
Оскільки ОА=1, РМ= , AN=tg x, , то останні нерівності набувають вигляду:
після скорочення на маємо:
Беручи до уваги, що при , поділимо ці нерівності на sinx. Знайдемо
,
або
;
звідки
Оскільки , то , а тому при
Отже при
Перейшовши в цих нерівностях до границі при , дістанемо
тобто
.
Задачу для розв’язано.
Нехай тепер . Введемо нову змінну за формулою
.
Тоді
Зауваження. При розв’язанні цієї задачі ми не робили ніякого припущення про те, що х є строго аргументом. Тому доведену рівність записують ще й так:
.
Приклади
1. Знайти .
Розв’язання
2. Знайти .
Розв’язання.