Тема 3.1 Нескінченно малі та нескінченно великі функції, їх порівняння

Нехай функція y = f(x) визначена на проміжку <a;b> крім, можливо, точки .

Означення . функція y = f(x) називається нескінченно малою в точці x₀, якщо

.

Функція y = f(x) називається нескінченно великою в точці x₀, якщо

.

Властивості нескінченно малих та нескінченно великих функцій подамо у вигляді теорем.

Теорема. Для того щоб

необхідно і достатньо, щоб функція

була нескінченно малою в точці x₀.

Доведення. Необхідність. Нехай .

Тоді.

Позначивши , дістанемо, що .

Достатність. Нехай є нескінченно малою в точці x₀ : , або, що те саме . Отже, тоді А є границею функції f(x) у точці x₀.

Теорему доведено.

Теорема. Алгебраїчна сума і добуток скінченого числа нескінченно малих функцій в точці x₀, а також добуток нескінченно малої функції на функцію обмежену є функція нескінченно мала в точці x₀.

Доведення. Для простоти припустимо, що маємо дві нескінченно малі функції i та покажемо, що функція є також нескінченно мала функція. Для цього задамо довільне число . Тоді, оскільки є нескінченно мала функція в точці x₀, то для числа існує таке число , що для всіх , які задовольняють нерівність , виконується нерівність . Існує також число що для виконується нерівність . Візьмемо тепер . Тоді одночасно виконуються обидві нерівності та . Використавши тепер властивості модуля суми, дістанемо :

.

Використувавши метод математичної індукції, можна довести справедливість цієї властивості і для будь-якого (певного) числа нескінченно малих функцій. Одну частину теореми доведемо.

Такі самі міркування доводять решту властивостей.

Теорема. Якщо - нескінченно мала в точці x₀ і в околі точки x₀, то функція є нескінченно велика в цій точці. Якщо f(x) – нескінченно велика в точці x₀, то функція - нескінченно мала в цій точці.

Доведення. Нехай - нескінченно мала в точці x₀. Візьмемо довільне число N>0. Тоді для числа існує таке число , що .

Не зменшуючи загальності, можна припустити, що для всіх x, які задовольняють нерівність . Тоді для цих значень x можна розглядати функцію , яка задовольняє нерівність

.

Першу частину теореми доведено. Друга частина теореми доводиться аналогічно.

Іноді доводиться розглядати не одну, а кілька нескінченно малих функцій у даній точці. Такі функції порівнюють між собою за допомогою границі їх відношення.

Означення Нехай функції i нескінченно малі в точці x₀. Тоді :

1) якщо , то i називаються нескінченно малими однакового порядку малості в точці x₀.

2) якщо , то i називаються еквівалентними в точці x₀, і записують ~ .

3) якщо , то називається нескінченно малою вищого порядку порівняно з в точці x₀. При цьому називається нескінченно малою нижчого порядку малості, ніж .

Насамкінець наводимо приклади еквівалентних нескінченно малих при :

; ; ; ; ; ; ; ; .