Теме 2.2. Поняття про рівняння площини і прямої у просторі

Нехай площина Q проходить через точку перпендикулярно вектору .

Цими умовами визначена єдина площина в просторі. Вектор називають нормальним вектором площини. Позначимо через М(х;у;z) довільну точку площини.

Вектор перпендикулярний до вектора і їх скалярний добуток дорівнює нулю: , або

. (2.44)

Це рівняння площини, яка проходить через задану точку М₀ перпендикулярно до вектора .

Рівняння площини

(2.45)

називають загальним рівнянням площини.

Доводиться, що будь-якому рівнянню першого степеня відносно змінних х, у, z відповідає площина (і лише площина) в просторі.

Умови паралельності і перпендикулярності площин виписують з умов колінеарності й перпендикулярності їх нормальних векторів і .

Нехай дано яку-небудь пряму L, що проходить через точку паралельно вектору (називають напрямним вектором прямої). Позначимо через М(х,у,z) довільну точку прямої. З умов колінеарності векторів і , маємо

(2.46)

Це рівняння називають канонічним рівнянням прямої.

Вправи

1. Скласти рівняння площини, що проходить через точку М(2;3;5) перпендикулярно вектору . (Відп.: 4х+3у+2z-27=0).

2. Скласти рівняння площини, що проходить через точку М(2;3;-1) паралельно площині 5х-3у+2z-10=0. (Відп.: 5х-3у+2z+1=0).

3. Написати рівняння прямої, яка проходить через точку М(5;3;4) паралельно вектору . (Відп.: ).

4. Дано три послідовні вершини паралелограма А(3;0;-1), В(1;2;-4) і С(0;7;-2). Скласти рівняння сторін AD і CD. (Відп.: ).

Дано точки А(-1;2;3) і В(2;-3;1). Скласти рівняння прямої, яка проходить через точку М(3;-1;2) паралельно вектору . (Відп.: ).