Розглянемо три види ліній: еліпс, гіперболу і параболу, рівняння яких у прямокутній системі координат є рівняннями другого степеня. Такі лінії називають лініями другого порядку.
Познайомимося з найважливішими геометричними властивостями ліній другого порядку.
Розглянемо рівняння другого степеня з двома змінними у загальному вигляді
(2.32)
в якому А, В і С не дорівнюють одночасно нулю ( 
).
Доводиться, що завжди можна вибрати систему координат таким чином, щоб коефіцієнт В дорівнював нулеві. А тому, не обмежуючи спільності, можна вважати, що у вихідному рівнянні (2.32) В =0.
Перепишемо тепер рівняння у такому вигляді
або
де
.
Для простоти дослідження вважатимемо 
Тоді рівняння кривої прийме вигляд
. (2.33)
Насамперед розглянемо такі два випадки:
1) коефіцієнти А і С мають однакові знаки;
2) коефіцієнти А і С мають протилежні знаки.
Випадок 1. Криву другого порядку (2.33) називають кривою еліптичного типу, якщо коефіцієнти А і С мають однакові знаки. Для конкретності вважатимемо, що А>0, C>0 ( у протилежному випадку обидві частини рівняння можна домножити на (-1) ).
Можливі три випадки:
а) d>0; б) d=0; в) d<0.
Легко бачити, що у випадку d<0 крива (2.33) не має дійсних точок, а у випадку d=0 крива (2.33)вироджується в одну точку (0;0). Зупинимося на випадку d>0.
З (2.33) дістанемо рівняння
(2.34)
яке називають канонічним рівнянням еліпса з півосями 
і 
. У частинному випадку, коли а=b рівняння (2.34) є рівнянням кола 
. Точки 
і 
де
(2.35)
називають фокусами еліпса.
Відношення
(2.36)
називають ексцентриситетом еліпса. Ексцентриситет характеризує форму еліпса. Очевидно, що 
причому для кола 
.
Точки 
називають вершинами еліпса.
Обчислимо суму відстаней від будь-якої точки еліпса М(х;у) до його фокусів
.
З урахуванням (2.34)-(2.36) дістанемо
.
Отже, для будь-якої точки еліпса сума відстаней її до фокусів є величина стала і дорівнює 2а. Цю характеристичну властивість еліпса часто приймають за означення еліпса.
Приклад
Встановити вигляд і розміщення кривої
Розв’язання. Доповнимо доданки з х і у до повних квадратів, дістанемо
або
Покладемо 
Маємо
.
Отже, крива є еліпсом з центром 
Випадок 2. Криву другого порядку (2.33) називають кривою гіперболічного типу, якщо коефіцієнти А і С мають протилежні знаки.
Для конкретності вважатимемо А>0, C<0.
Можливі три випадки:
а) d>0; б) d=0; в) d<0.
У першому випадку ( d>0 )з (2.33) дістанемо рівняння
(2.37)
яке називають канонічним рівнянням гіперболи; тут - дійсна піввісь, 
- уявна піввісь
Фокуси гіперболи – точки і тут 
. Ексцентриситет гіперболи 
.
Вершини гіперболи – точки 
і 
Можна довести, що для будь-якої точки гіперболи абсолютна величина різниці її відстаней до фокусів є величина стала і дорівнює 2а:
Цю характеристичну властивість гіперболи часто приймають за означення гіперболи.
Перепишемо рівняння гіперболи (2.37) у вигляді
(2.38)
Для достатньо великих х можемо писати 
і рівняння (2.38) дістане вигляд
Такі прямі називають асимптотами гіперболи. Зокрема, для гіперболи 
асимптоти 
взаємно перпендикулярні і є бісектрисами координатних кутів.
У другому випадку ( d=0 ) рівняння кривої має вигляд
тобто дістаємо пару прямих
і 
У третьому випадку ( d<0 ) дістанемо гіперболу
з півосями 
і 
.
Цю гіперболу називають спряженою з гіперболою (2.37) (на малюнку вона зображена пунктиром).
Розглянемо обернену пропорційну залежність, що задається рівнянням
або 
(2.39)
Графіком оберненої пропорційної залежності є рівностороння гіпербола з асимптотами – осями координат.
Якщо m>0, вітки гіперболи знаходяться в І і ІІІ квадрантах, якщо m<0 – в ІІ і IV квадрантах.
Розглянемо графік дробово-лінійної функції
, (2.40)
де 
, 
Перетворюючи (2.40), маємо
.
Перейдемо до нової системи координат 
:
;
поклавши 
приведемо рівняння (2.40) до вигляду
або 
Отже, графіком дробово-лінійної функції (2.40) є рівностороння гіпербола з асимптотами
і 
,
паралельними осям координат.
Розглянемо тепер випадок рівняння кривої другого порядку (2.32), в якому В=0, а також один з коефіцієнтів А або С дорівнює нулю; для конкретності 
тобто
(2.41)
Нехай також 
Доповнимо члени з у до повного квадрата
Покладемо
маємо
(2.42)
Криву (2.42) називають параболою, а точку 
(х0;у0) – вершиною параболи, р – параметром параболи. Якщо p>0 вітки параболи направлені вправо, якщо p<0 – вліво. Пряма 
є віссю параболи.
Якщо вершина параболи знаходиться в початку координат, то рівняння (2.42) має вигляд
(2.43)
Якщо в рівнянні (2.43) поміняти місцями х та у, то одержимо 
- рівняння параболи з вершиною в початку координат, симетричною відносно осі ординат.
Розглянемо далі квадратний тричлен
Звідси
Позначимо 
В новій системі координат 
з центром 
рівняння має вигляд 
.
Отже, графіком квадратного тричлена
є парабола з вершиною в точці і віссю симетрії 
паралельною осі Оу.
