Числова послідовність та її границя. Арифметична та геометрична прогресії. Основні теореми про границі числової послідовності.

Числовою послідовністю називається упорядкована

сукупність чисел a₁, a₂, a₃,…, a_n,…, кожне з яких визначається запевним правилом відповідності a_n=f(n), де n - натуральне число.

Число А називається границею послідовності з загальним елементом a_n=f(n), якщо для будь-якого додатного достатньо малого числа e існує таке натуральне число N, що для всіх n>N справджується нерівність |a_n-A|<e. Позначається .

Числову послідовність називають збіжною, якщо вона має скінчену границю. Якщо границя послідовності не існує або дорівнює ¥, то послідовність називають розбіжною.

Арифметична прогресія це послідовність дійсних чисел виду де a₁ — це перший член прогресії, d — це фіксована різниця між попереднім та наступним.

Геометрична прогресія — послідовність чисел, перший член якої не дорівнює нулю, а відношення будь-якого елемента послідовності до попереднього є сталим числом, що називається знаменником прогресії.

Т1.Якщо послідовності {x_n} і {y_n} збігаються, то .

T2.Якщо послідовності {x_n} і {y_n} збігаються, то

T3.Сталий множник можна винести за знак границі, якщо

послідовність {x_n} збігається: .

Т4.Якщо послідовності {x_n} і {y_n} збігаються і границя

послідовності {y_n} відмінна від нуля, то .