Обчислення площ поверхонь тіл обертання.

Нехай графік неперервної та неперервно диференційовної функції обертається навколо відрізка осі . Тоді площа поверхні утвореного таким чином тіла знаходиться за формулою:

. (17.1)

Якщо криву задано в параметричній формі , де – неперервно диференційовні на відрізку функції, причому , то

. (17.2)

Якщо криву задано рівнянням у полярній системі координат , , то площа поверхні тіла, яке утворено обертанням фігури, обмеженої графіком функції та променями , навколо полярної осі, дорівнює:

. (17.3)

Приклади.

1. Знайти площу поверхні параболоїда, утвореного обертанням навколо осі дуги параболи (рис. 21).

Рис. 21.

Маємо:

,

і згідно з формулою (17.1):

.

2. Знайти площу поверхні еліпса з півосями і ( ).

Запишемо рівняння еліпса в параметричній формі: , . Введемо до розгляду ексцентриситет еліпса: . Шукану площу можна отримати як подвоєну площу поверхні тіла, утвореного обертанням чверті еліпса, розташованої у 1-му квадранті, навколо осі . Отже згідно з формулою (17.2) маємо:

.

Зокрема, з цієї формули при ( ) отримується формула площі поверхні сфери радіуса : .

3. Знайти площу поверхні тіла, утвореного обертанням лемніскати Бернуллі навколо полярної осі.

Шукану площу знайдемо як подвоєну площу поверхні тіла, утвореного обертанням чверті лемніскати, розташованої у 1-му квадранті, тобто . Згідно з формулою (17.3) маємо:

.