Розглянемо деяке тіло (рис. 19). Позначимо через площу перерізу цього тіла площиною, яка проходить перпендикулярно деякій осі через точку з координатою на цій осі .
Розіб’ємо відрізок на частинні відрізки точками:
Рис. 19.
і проведемо через ці точки площини, перпендикулярні відрізку . На кожному з частинних відрізків оберемо довільну точку . Площини розбивають наше тіло на елементарні циліндри . Площа основи циліндра дорівнює , а висота . Сумарний об’єм всіх циліндрів:
.
Границя цієї суми при (якщо вона існує) називається об’ємом даного тіла. Очевидно, що – це інтегральна сума для функції , отже об’єм тіла :
.
Таким чином доведено формулу:
. (16.1)
Розглянемо, зокрема, об’єм тіла, яке утворено обертанням фігури, обмеженої графіком функції , відрізком осі та прямими та , навколо осі (рис. 20).
Рис. 20.
Тоді площа перерізу , і згідно з формулою (16.1):
. (16.2)
Якщо така ж сама фігура обертається навколо осі , то можна довести, що об’єм утвореного тіла дорівнює:
. (16.3)
Нехай тепер рівняння лінії, що обмежує нашу фігуру, задано у параметричній формі: , , , причому функція припускається неперервно диференційовною, а функція – неперервною на відрізку . Тоді, якщо фігура обертається навколо осі , то об’єм утвореного тіла дорівнює:
. (16.4)
Якщо та ж сама фігура обертається навколо осі , то об’єм утвореного тіла дорівнює:
. (16.5)
Нарешті розглянемо у полярній системі координат фігуру, яку обмежено променями , ( ) та графіком функції . Тоді об’єм тіла, утвореного обертанням цієї фігури навколо полярної осі, дорівнює:
. (16.6)
Приклади.
1. Знайти об’єм еліпсоїда
.
У перерізі еліпсоїда площиною, паралельною площині на відстані
від неї утворюється еліпс:
,
або:
.
Півосі цього еліпса , і його площа дорівнює (див. приклад після формули (14.2)):
.
Тому за формулою (16.1) маємо:
(перевірте самостійно). Зокрема, якщо , дістаємо формулу об’єму кулі:
.
2. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням графіка функції навколо відрізка осі .
За формулою (16.2) маємо:
.
3. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої графіком функції , відрізком осі , та прямими , : а) навколо осі ; б) навколо осі .
Об’єм тіла, утвореного обертанням даної фігури навколо осі , знайдемо за формулою (16.2):
.
Об’єм тіла, утвореного обертанням тієї ж фігури навколо осі , знайдемо за формулою (16.3):
.
4. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої аркою циклоїди , , навколо: а) осі ; б) осі .
Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі , знайдемо за формулою (16.4):
.
Об’єм тіла, утвореного обертанням навколо осі , знайдемо за формулою (16.5):
(обчислення інтегралів перевірте самостійно).
5. Знайти об’єм тіла, утвореного обертанням фігури, обмеженої кардіоїдою , , навколо полярної осі.
Внаслідок симетрії кардіоїди відносно полярної осі (рис. 14), тіло, яке утворено обертанням всієї кардіоїди навколо полярної осі, співпаде з тілом, яке утворено обертанням тільки верхньої половини кардіоїди, яка відповідає зміні кута від до . Тоді, користуючись формулою (16.6), дістанемо:
.