Обчислення довжин дуг кривих ліній.

Нехай задано дугу графіка функції , яку будемо вважати

неперервною та неперервно диференційовною на відрізку (рис. 15)

Рис. 15.

Розіб’ємо відрізок довільно обраними точками ділення на частинні :

.

Відмітимо на графіку функції точки з абсцисами відповідно . З’єднаємо їх відрізками прямих ліній. Дістанемо ламану лінію , яку вписано в дугу . Позначимо периметр цієї ламаної через .

Означення. Якщо існує і не залежить від способу вписування ламаної скінченна границя периметра цієї ламаної, коли найбільший її відрізок прямує до нуля, то крива називається спрямною, а величина цієї границі називається довжиною дуги і позначається

. (15.1)

Позначимо , , – довжину відрізка . Очевидно, що

.

За теоремою Лагранжа на інтервалі існує точка така, що

.

Тоді

,

.

Це є інтегральна сума для функції . Оскільки неперервна, функція також неперервна, і тоді існує границя (15.1):

.

Отже дістали формулу:

. (15.2)

Приклад 1. Обчислити довжину дуги напівкубічної параболи на відрізку (рис. 16).

Рис. 16.

Маємо: . Отже

.

Приклад 2. Обчислити довжину графіка функції на відрізку .

Маємо: . Отже

.

Якщо криву задано параметрично: , де – неперервно диференційовні на проміжку функції, то:

. (15.3)

Приклад. Обчислити довжину однієї арки циклоїди, яка має параметричні рівняння:

.

Циклоїда – це лінія, яку описує точка на колі радіуса , яке котиться вздовж прямої лінії. У якості параметра виступає кут поворота кола (рис. 17).

Рис. 17.

За формулою (15.3) маємо:

.

Якщо криву задано у полярній системі координат , де – неперервно диференційовна на функція, то можна довести, що

. (15.4)

Приклад. Обчислити довжину дуги логарифмічної спіралі за умовою (рис. 18).

Рис. 18.

Внаслідок того, що , дістаємо: , отже за формулою (15.4) матимемо:

через те, що . Зауважимо, що інтеграл, який тут виникає – невласний 1-го роду.