Завдання 3.

Розв’язати систему рівнянь усіма відомими способами:

3.1.Розв’язання системи матричним методом.

Запишемо систему рівнянь у вигляді матричного рівняння АХ=В,

де А= , Х= , В= із матричного рівняння АХ=В Х=А^-1*В.

Розв’язок математичним методом можливий, якщо = ≠0, тобто якщо матриця А невироджена:

= , тобто існує одна обернена матриця, отже, і єдиний розв’язок системи.

Зауваження. Визначник третього порядка знаходиться одним із методів обчислення визначників. У даному випадку використовується метод розкладання визначників по елементам стовпця.

Знайдемо обернену матрицю А^-1 одним із звісних методів.

Наприклад, за формулою А^-1= , знайдемо

алгебраїчні доповнення:

А₁₁= А₂₁=-

А₁₂= А₂₂=

А₁₃= А₂₃=

А₃₁=

А₃₂=

А₃₃=

Отже, А^-1 =

Перевіримо правильність знаходження оберненої матриці шляхом перевірки виконання рівності А*А^-1=Е:

А*А^-1=

Перевірка показує, що обернена матриця знайдена вірно:

Х=А^-1*В=

Отримали х=5, у=-2, z=7.

Перевірка правильності розв’язку.

Підставимо отриманий розв’язок у систему:

Система розв’язана вірно.

Відповідь: х=5, у=-2, z=7.

3.2.розв’язання системи за формулами Крамера.

Знайдемо х₁=х=

х₂=у=

х₃=z=

3.3.розв’язання системи методом Гаусса.

Запишемо розширену матрицю системи і приведемо її до трикутного вигляду за допомогою елементарних перетворень матриці, які виконуються над рядками:

RdA=Rd , де n- число невідомих.

RdA – ранг матриці А (кількість нульових рядків в матриці).

Ставимо у відповідність розширеній матриці систему, еквіваленту вихідній, розв’язання якої здійснюємо знизу уверх:

Відповідь: х = 5; у = - 2 ; z = 7.