Метод множників Лагранжа

Знайти екстремум функції

при обмеженнях

де обмеження складаються лише із рівнянь, відсутні умови невід’ємності, функції і неперервні разом із своїми частинними похідними.

Така задача називається задачею на умовний екстремум або класичною задачею оптимізації.

Основна ідея метода множників Лагранжа полягає в переході від задачі на умовний екстремум до задачі знаходження безумовного екстремуму деякої спеціальним чином побудованої функції Лагранжа.

Складаємо функцію Лагранжа:

,

де - множники Лагранжа, кількість яких дорівнює числу обмежень.

Приклад. Необхідно використовуючи метод множників Лагранжа визначити екстремум функції:

при обмеженнях x₁ +x₂ = 7.

Розв’язання. Складемо функцію Лагранжа. Оскільки за умовою тільки одно обмеження, то множник Лагранжа буде один .

.

Знайдемо частинні похідні по і :

Прирівнюючи похідні до нуля, отримаємо систему рівнянь для визначення стаціонарних точок:

Розв’язавши цю систему рівнянь знаходимо Отже, отримали стаціонарну точку x^* =(3, 4, 2).. Перевіримо достатню умову екстремуму в цій точці. Для цього знаходимо другі похідні і обчислюємо матрицю Гессе:

Оскільки матриця Гессе H додатне визначена, а головний мінор першого порядку і мінор другого порядку ,

то функція f(x) опукла і в точці x^* має абсолютний мінімум

Можна відмітити, що такий же результат отримаємо, якщо дослідження задачі на умовний екстремум функції f(x) зведемо к дослідженню на безумовний екстремум функції f₁(x), отриманої шляхом перетворення функції f(x). Для цього з рівняння 7-х₁-х₂ = 0 знайдемо x₁ = 7 –x₂ і підставимо його в функціонал. В результаті отримаємо функцію однієї змінної x₂:

Знайдемо стаціонарну точку цієї функції

Маємо стаціонарну точку По аналогії із вище наведеним прикладом встановлюємо, що точка x^* - є точкою мінімуму і функція f(x) в цій точці приймає мінімальне значення.