Градієнтні методи

Приклад. Знайти максимум функції

при обмеженнях

використовуючи градієнтний метод із точністю ε= 0,001.

Розв’язання. Із області допустимих значень функції f(x) довільним чином вибираємо початкову точку x = (1 ; 1,5). Обчислимо значення цільової функції f(x) в точці :

Знайдемо градієнт функції :

Перша ітерація.Обчислимо в точці напрямок

Тоді , отже

Отримали точку Значення цільової функції в точці x¹ буде:

f (x¹) > f (x⁰), отже рухаємось в напрямку збільшення функції, але ‌ f (x¹) – f (x⁰) ‌ > ε

Друга ітерація.

Знайдемо крок

Тоді

Отримали точку

Третя ітерація.

Крок

Точка

f (x³ ) = 5,9959. ‌ f (x²) – f (x³) ‌ = ‌ 5,9896 – 5,9959 ‌ > ε .

Четверта ітерація.

Точка

Оскільки |f(x³) – f(x⁴)|= |5,9959-5,997| = 0,001 = ε,то ітераційний процес припинаємо.

Отримали локальний екстремум в точці Х = (2,044; 1,026) В цій точці цільова функція досягає максимального значення із заданою точністю ε = 0,001.