Нехай функція
має максимум в деякій точці
(мал.). Будемо розраховувати
у трьох точках, що знаходяться одна від одної на відстанях
по
. Будемо рухатися по кривій
. Наявність екстремуму означає змінення знаку прирощення
. Коли така трійка точок
,
,
проходить через максимум або мінімум, добуток
буде від’ємним. Тут необхідно зупинитися і прийняти значення
за наближене значення максимуму (мінімуму).
Приклад. Розрахунок геометричних параметрів об’єкта.
Маємо квадратний аркуш картону. Із аркуша по кутах вирізають чотири квадрати і склеюють коробку по сторонах вирізів. Яка має бути сторона вирізаного квадрату, щоб коробка мала найбільшу місткість?
Інформаційна модель:
Об’єкт
| Параметри
|
Назва
| Значення
|
Аркуш картону
| Довжина сторони a
| 40 см
|
Виріз
| Крок змінювання Δb
|
|
Розмір b
|
|
Коробка
| Довжина сторони дна c
|
|
Площа дна S
|
|
Об’єм V
|
|

Розробка комп’ютерної моделі:
У представлених формулах а – довжина сторони картонного аркуша, b – розмір вирізу. Він змінюється від 0 до половини довжини сторони картонного аркуша через крок
.
- величина розбиття відрізку (0;
), тобто кількість маленьких відрізків
, на які ділиться цей проміжок.
I спосіб розв’язання
Для моделювання будемо використовувати електронні таблиці. Інформаційна та математична моделі об’єднуються в таблицю, яка містить три області:
1. вихідні дані;
2. проміжні розрахунки;
3. результати.
– вводимо початкові дані;
– вводимо формули для розрахунків за правилами, прийнятими в середовищі електронних таблиць та проводимо розрахунки;
– отримуємо масив даних, тобто таблицю, яка відображає залежність об’єму коробки від розміру вирізу;
– за отриманими результатами будуємо графік залежності об’єму від довжини сторони вирізу.

Максимум графіку буде співпадати із максимальним значенням об’єму коробки і відповідним до нього значенням довжини сторони вирізу.
II спосіб розв’язання:
Для моделювання будемо використовувати мову програмування Pascal. За умовою задачі нам необхідно знайти максимальне значення об’єму коробки та вивести значення
, яке відповідає цьому об’єму.
program extremum;
var b: array [0..255] of real;
S: array [0..255] of real;
V: array [0..255] of real;
c: array [0..255] of real;
l: array [0..255] of real;
db,a:real;
i,n:integer;
begin
writeln('Vvedite N');
readln(n);
a:=40;
b[0]:=0;
db:=a/(2*n);
For i:=1 to n do
b[i]:=b[i-1]+db;
For i:=0 to n do
begin
{Параметр
а також величини
, які залежать від нього описуємо як масиви.}
{З клавіатури вводимо значення розбиття відрізку (0;
)
}
{Вводимо значення
, та початкове значення
}
{
– це крок змінення довжини
.}
{розраховуємо та заносимо в пам’ять усі значення
.}
c[i]:=a-2*b[i];
S[i]:=c[i]*c[i];
V[i]:=S[i]*b[i];
end;
for i:=1 to n do
begin
l[i]:=(V[i+1]-V[i])*(V[i]-V[i-1]);
if l[i]<0 then
begin
writeln('b=', b[i]);
writeln('V=', V[i]);
end;
end;
end.
{Розраховуємо довжину сторони дна,
площу дна,
об’єм коробки.}
{Перевіряємо де знаходиться екстремум функції залежності
, тут
просто допоміжна змінна.}
{Виводимо результати.}
Те, наскільки точним буде результат, напряму залежить від величини
.
В таблиці приведені значення
та
в залежності від
. Порівняйте їх із графіком, побудованим в Excel.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
| 6,5
| 6,75
| 6,67
| 6,7
|
|
|
| 4738,5
| 4740,2
| 4740,7
| 4740,7
|
Завдання для самостійного виконання.
1) Довжини огорожі садової ділянки. Садова ділянка прямокутної форми має площу
м2. При яких значеннях довжини та ширини ділянки довжина огорожі буде найменшою?
Формалізація задачі:
Нехай ширина дорівнює
і змінюється від 1 до 30 із кроком 1 м, значення довжини ділянки знайдемо за формулою
. Довжина огорожі дорівнюватиме периметру прямокутника, яким є садова ділянка, тобто довжину огорожі знайдемо за формулою:
.
Необхідно знайти екстремум (мінімум) значення
та вивести відповідні значення
та
.
2) Площа трапеції. Знайти найбільшу площу рівнобедреної трапеції із периметром 4 та кутом при основі 45˚.
Формалізація задачі:
Площу трапеції можемо знайти за формулою:
.
За умовою кут
45˚, це означає, що прямокутний трикутник
рівнобедрений:
. Так як трапеція рівнобедрена, то
,
.
Підставимо усі ці співвідношення у формулу для периметра. Отримаємо
.
Виразимо
:
.
Після підстановки та нескладних математичних перетворень отримуємо
.
Довжина сторони
змінюється від 0 до напівпериметра (
).
3) Площа бокової поверхні циліндра. В круговий конус із радіусом основи
см та висотою
см вписано прямий круговий циліндр. При яких значеннях радіуса
основи та висоти
циліндра площа його бокової поверхні буде найбільшою?
Формалізація задачі:
Розглянемо переріз конуса вздовж площини, яка містить його висоту.
Площа бокової поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола основи на висоту: 
Із подібності трикутників
та
можемо записати:
.
Підставимо це рівняння в рівняння для площини, отримаємо:
.
У цьому рівнянні змінною величиною залишається довжина висоти циліндра
. Вона змінюється від 0 до
.
4) Відстань між автомобілями. Два автомобілі їдуть двома дорогами, що перетинаються під прямим кутом. Перший автомобіль знаходиться на відстані 3 км від перехрестя та його швидкість 40 км/год. Другий автомобіль знаходиться на відстані 5 км від перехрестя і його швидкість 60 км/год. В який момент відстань між автомобілями буде найменшою? Знайдіть цю відстань.
Формалізація задачі:
Відстань від кожного автомобіля до перехрестя дорівнює початковій відстані мінус відстань, яку вони пройшли за деякий час
, тобто
,
.
Відстань між автомобілями можна знайти за теоремою Піфагора:
.
Час змінюється на проміжку від 0 до 10 хвилин. (Не забудьте перевести одиниці вимірювання в систему СІ).
5) Площа прямокутника. В заданий трикутник
вписати прямокутник
найбільшої площі так, щоб вершини
і
лежали на стороні
, а
і
– на двох інших сторонах.
см,
см,
см.
Формалізація задачі:
Нехай висота, що опущена із вершини
, дорівнює
. Із малюнка бачимо, що
паралельне до
, з цього виходить що трикутники
і
подібні. Із подібності трикутників маємо:
;
.
Отже площа прямокутника дорівнює:
.
Висоту трикутника можемо знайти через його площу
, де
,
– напівпериметр трикутника. Довжина
змінюється від 0 до
.
6) Об’єм конуса. Із кола радіусом
см вирізати розгортку конуса найбільшого об’єму.
Формалізація задачі:
Щоб із кола можна було звернути конус, із нього необхідно вирізати сектор з деяким значенням центрального кута
. Об’єм конуса дорівнює:
, де
– радіус основи конуса, а
– його висота. Радіус основи можемо знайти через площу бокової поверхні конуса
. Тут
.
Також площу бокової поверхні конуса можна знайти як різницю площі кола та вирізаного сектора
. Із двох останніх рівнянь знаходимо
. Висоту конуса знаходимо за теоремою Піфагора:
. Підставимо співвідношення для
і
в формулу для об’єму. Отримаємо
.
Значення кута змінюється від 0 до 360 градусів.
7) Об’єм циліндру. Знайти максимальний об'єм циліндра, вписаного в сферу радіусом
см.
Формалізація задачі:
Розглянемо переріз сфери із вписаним циліндром вздовж площини, що містить вісь циліндра. Отримуємо прямокутник, вписаний в коло.
– висота циліндра. Кожна з діагоналей цього прямокутника дорівнює двом радіусам кола (радіус кола дорівнює радіусу сфери). Радіус основи циліндра знайдемо за теоремою Піфагора:
. Отже об’єм дорівнює
,
де
змінюється від 0 до
.
8) Площа ділянки. Парканом довжиною
м необхідно обгородити ділянку, що має форму прямокутника із півколом, що прилягає до нього, діаметром півкола є одна із сторін прямокутника. Знайти найбільше значення площі такої ділянки.
Формалізація задачі:
Площа ділянки такої форми дорівнює сумі площ прямокутника
та півкола із діаметром
:
.
Виразимо
через периметр (
):
;
.
Після підстановки та спрощення отримаємо:
.
Якщо в співвідношенні для периметра взяти
, то можна знайти найбільше можливе значення
:
. Найменше можливе значення вказаної сторони дорівнює 0.
9) Площа прямокутника. Маємо дріт довжиною
см. Необхідно зігнути його таким чином, щоб отримати прямокутник з найбільшою можливою площею.
Формалізація задачі:
Нехай довжини сторін прямокутника
і
. Площа дорівнює добутку:
. Через периметр (
) виразимо
:
;
;
.
змінюється від 0 до
.
10) Площа квадрата. Маємо квадрат
із стороною 5 см. Від його вершин відкладено рівні відрізки
,
,
,
та точки
,
,
,
поєднані прямими. При якому значенні
площа квадрату
буде найменшою?
Формалізація задачі:
Нехай відстань
, тоді відстань
. За умовою
. Отже ми можемо знайти сторону
вписаного квадрата за теоремою Піфагора:
.
Тоді площа вписаного квадрата дорівнюватиме
,
де
змінюється від 0 до
.
11) Відстані між пароплавом і яхтою. Із точок
і
в напрямках, вказаних на малюнку вийшли одночасно пароплав і яхта. Їх швидкості відповідно дорівнюють
км/год.,
км/год.. Через який час відстань між ними буде найменшою, якщо
км?
Формалізація задачі:
і
– це відстані пароплава та яхти від точки
. У даний момент часу пароплав проплив відстань
від початкового положення, а яхта пройшла шлях
.
Отже за теоремою Піфагора можемо знайти відстань між пароплавом і яхтою:
,
Час змінюється від 0 до 10 хвилин.
12) Об’єм конуса. В кулю даного радіуса
см вписати прямий круговий конус найбільшого об’єму.
Формалізація задачі:
Об’єм конуса дорівнює
.
Розглянемо плоску фігуру: трикутник вписаний в коло. Тут
– радіус основи конуса, а
– висота (
). Зробимо допоміжні побудови і домалюємо кут
до трикутника. Бачимо, що цей трикутник прямокутний, а відрізок
є висотою цього трикутника.
ділить
на два подібні прямокутні трикутники
і
. Отже можемо записати
, звідки
. Знаходимо об’єм
,
де
змінюється від 0 до
.