Завдання на знаходження екстремумів.

Приклад. Розрахунок геометричних параметрів об’єкта.

Маємо квадратний аркуш картону. Із аркуша по кутах вирізають чотири квадрати і склеюють коробку по сторонах вирізів. Яка має бути сторона вирізаного квадрату, щоб коробка мала найбільшу місткість?

Інформаційна модель:

Об’єкт	Параметри
Назва	Значення
Аркуш картону	Довжина сторони a	40 см
Виріз	Крок змінювання Δb
Розмір b
Коробка	Довжина сторони дна c
Площа дна S
Об’єм V

Розробка комп’ютерної моделі:

У представлених формулах а – довжина сторони картонного аркуша, b – розмір вирізу. Він змінюється від 0 до половини довжини сторони картонного аркуша через крок . - величина розбиття відрізку (0; ), тобто кількість маленьких відрізків , на які ділиться цей проміжок.

I спосіб розв’язання

Для моделювання будемо використовувати електронні таблиці. Інформаційна та математична моделі об’єднуються в таблицю, яка містить три області:

1. вихідні дані;

2. проміжні розрахунки;

3. результати.

– вводимо початкові дані;

– вводимо формули для розрахунків за правилами, прийнятими в середовищі електронних таблиць та проводимо розрахунки;

– отримуємо масив даних, тобто таблицю, яка відображає залежність об’єму коробки від розміру вирізу;

– за отриманими результатами будуємо графік залежності об’єму від довжини сторони вирізу.

Максимум графіку буде співпадати із максимальним значенням об’єму коробки і відповідним до нього значенням довжини сторони вирізу.

II спосіб розв’язання:

Для моделювання будемо використовувати мову програмування Pascal. За умовою задачі нам необхідно знайти максимальне значення об’єму коробки та вивести значення , яке відповідає цьому об’єму.

program extremum;

var b: array [0..255] of real;

S: array [0..255] of real;

V: array [0..255] of real;

c: array [0..255] of real;

l: array [0..255] of real;

db,a:real;

i,n:integer;

begin

writeln('Vvedite N');

readln(n);

a:=40;

b[0]:=0;

db:=a/(2*n);

For i:=1 to n do

b[i]:=b[i-1]+db;

For i:=0 to n do

begin

{Параметр а також величини , які залежать від нього описуємо як масиви.}

{З клавіатури вводимо значення розбиття відрізку (0; ) }

{Вводимо значення , та початкове значення }

{ – це крок змінення довжини .}

{розраховуємо та заносимо в пам’ять усі значення .}

c[i]:=a-2*b[i];

S[i]:=c[i]*c[i];

V[i]:=S[i]*b[i];

end;

for i:=1 to n do

begin

l[i]:=(V[i+1]-V[i])*(V[i]-V[i-1]);

if l[i]<0 then

begin

writeln('b=', b[i]);

writeln('V=', V[i]);

end;

end;

end.

{Розраховуємо довжину сторони дна,

площу дна,

об’єм коробки.}

{Перевіряємо де знаходиться екстремум функції залежності , тут просто допоміжна змінна.}

{Виводимо результати.}

Те, наскільки точним буде результат, напряму залежить від величини .

В таблиці приведені значення та в залежності від . Порівняйте їх із графіком, побудованим в Excel.

			6,5	6,75	6,67	6,7
			4738,5	4740,2	4740,7	4740,7

Завдання для самостійного виконання.

1) Довжини огорожі садової ділянки. Садова ділянка прямокутної форми має площу м². При яких значеннях довжини та ширини ділянки довжина огорожі буде найменшою?

Формалізація задачі:

Нехай ширина дорівнює і змінюється від 1 до 30 із кроком 1 м, значення довжини ділянки знайдемо за формулою . Довжина огорожі дорівнюватиме периметру прямокутника, яким є садова ділянка, тобто довжину огорожі знайдемо за формулою: .

Необхідно знайти екстремум (мінімум) значення та вивести відповідні значення та .

2) Площа трапеції. Знайти найбільшу площу рівнобедреної трапеції із периметром 4 та кутом при основі 45˚.

Формалізація задачі:

Площу трапеції можемо знайти за формулою:

.

За умовою кут 45˚, це означає, що прямокутний трикутник рівнобедрений: . Так як трапеція рівнобедрена, то , .

Підставимо усі ці співвідношення у формулу для периметра. Отримаємо

.

Виразимо : .

Після підстановки та нескладних математичних перетворень отримуємо

.

Довжина сторони змінюється від 0 до напівпериметра ( ).

3) Площа бокової поверхні циліндра. В круговий конус із радіусом основи см та висотою см вписано прямий круговий циліндр. При яких значеннях радіуса основи та висоти циліндра площа його бокової поверхні буде найбільшою?

Формалізація задачі:

Розглянемо переріз конуса вздовж площини, яка містить його висоту.

Площа бокової поверхні циліндра дорівнює добутку довжини кола основи на висоту:

Із подібності трикутників та можемо записати:

.

Підставимо це рівняння в рівняння для площини, отримаємо:

.

У цьому рівнянні змінною величиною залишається довжина висоти циліндра . Вона змінюється від 0 до .

4) Відстань між автомобілями. Два автомобілі їдуть двома дорогами, що перетинаються під прямим кутом. Перший автомобіль знаходиться на відстані 3 км від перехрестя та його швидкість 40 км/год. Другий автомобіль знаходиться на відстані 5 км від перехрестя і його швидкість 60 км/год. В який момент відстань між автомобілями буде найменшою? Знайдіть цю відстань.

Формалізація задачі:

Відстань від кожного автомобіля до перехрестя дорівнює початковій відстані мінус відстань, яку вони пройшли за деякий час , тобто

, .

Відстань між автомобілями можна знайти за теоремою Піфагора:

.

Час змінюється на проміжку від 0 до 10 хвилин. (Не забудьте перевести одиниці вимірювання в систему СІ).

5) Площа прямокутника. В заданий трикутник вписати прямокутник найбільшої площі так, щоб вершини і лежали на стороні , а і – на двох інших сторонах. см, см, см.

Формалізація задачі:

Нехай висота, що опущена із вершини , дорівнює . Із малюнка бачимо, що паралельне до , з цього виходить що трикутники і подібні. Із подібності трикутників маємо:

;

.

Отже площа прямокутника дорівнює:

.

Висоту трикутника можемо знайти через його площу , де , – напівпериметр трикутника. Довжина змінюється від 0 до .

6) Об’єм конуса. Із кола радіусом см вирізати розгортку конуса найбільшого об’єму.

Формалізація задачі:

Щоб із кола можна було звернути конус, із нього необхідно вирізати сектор з деяким значенням центрального кута . Об’єм конуса дорівнює: , де – радіус основи конуса, а – його висота. Радіус основи можемо знайти через площу бокової поверхні конуса . Тут . Також площу бокової поверхні конуса можна знайти як різницю площі кола та вирізаного сектора . Із двох останніх рівнянь знаходимо . Висоту конуса знаходимо за теоремою Піфагора: . Підставимо співвідношення для і в формулу для об’єму. Отримаємо

.

Значення кута змінюється від 0 до 360 градусів.

7) Об’єм циліндру. Знайти максимальний об'єм циліндра, вписаного в сферу радіусом см.

Формалізація задачі:

Розглянемо переріз сфери із вписаним циліндром вздовж площини, що містить вісь циліндра. Отримуємо прямокутник, вписаний в коло. – висота циліндра. Кожна з діагоналей цього прямокутника дорівнює двом радіусам кола (радіус кола дорівнює радіусу сфери). Радіус основи циліндра знайдемо за теоремою Піфагора: . Отже об’єм дорівнює

,

де змінюється від 0 до .

8) Площа ділянки. Парканом довжиною м необхідно обгородити ділянку, що має форму прямокутника із півколом, що прилягає до нього, діаметром півкола є одна із сторін прямокутника. Знайти найбільше значення площі такої ділянки.

Формалізація задачі:

Площа ділянки такої форми дорівнює сумі площ прямокутника та півкола із діаметром :

.

Виразимо через периметр ( ):

;

.

Після підстановки та спрощення отримаємо:

.

Якщо в співвідношенні для периметра взяти , то можна знайти найбільше можливе значення : . Найменше можливе значення вказаної сторони дорівнює 0.

9) Площа прямокутника. Маємо дріт довжиною см. Необхідно зігнути його таким чином, щоб отримати прямокутник з найбільшою можливою площею.

Формалізація задачі:

Нехай довжини сторін прямокутника і . Площа дорівнює добутку: . Через периметр ( ) виразимо :

;

;

.

змінюється від 0 до .

10) Площа квадрата. Маємо квадрат із стороною 5 см. Від його вершин відкладено рівні відрізки , , , та точки , , , поєднані прямими. При якому значенні площа квадрату буде найменшою?

Формалізація задачі:

Нехай відстань , тоді відстань . За умовою . Отже ми можемо знайти сторону вписаного квадрата за теоремою Піфагора:

.

Тоді площа вписаного квадрата дорівнюватиме

,

де змінюється від 0 до .

11) Відстані між пароплавом і яхтою. Із точок і в напрямках, вказаних на малюнку вийшли одночасно пароплав і яхта. Їх швидкості відповідно дорівнюють км/год., км/год.. Через який час відстань між ними буде найменшою, якщо км?

Формалізація задачі:

і – це відстані пароплава та яхти від точки . У даний момент часу пароплав проплив відстань від початкового положення, а яхта пройшла шлях .

Отже за теоремою Піфагора можемо знайти відстань між пароплавом і яхтою:

,

Час змінюється від 0 до 10 хвилин.

12) Об’єм конуса. В кулю даного радіуса см вписати прямий круговий конус найбільшого об’єму.

Формалізація задачі:

Об’єм конуса дорівнює .

Розглянемо плоску фігуру: трикутник вписаний в коло. Тут – радіус основи конуса, а – висота ( ). Зробимо допоміжні побудови і домалюємо кут до трикутника. Бачимо, що цей трикутник прямокутний, а відрізок є висотою цього трикутника. ділить на два подібні прямокутні трикутники і . Отже можемо записати , звідки . Знаходимо об’єм

,

де змінюється від 0 до .