, (1)
складається з двох етапів: відокремлення коренів, тобто встановлення проміжків
,
, в кожному з яких міститься тільки один корінь; уточнення коренів, тобто їх обчислення з наперед заданою точністю
. Для відокремлення коренів використовуються аналітичні або графічні методи. Для уточнення коренів використовуються ітераційні методи. Розглянемо деякі методи уточнення коренів.
1. Метод поділу проміжку навпіл. Якщо функція
неперервна і набуває на кінцях проміжку
значень різних знаків, тобто
, то корінь рівняння (1)
можна обчислити з наперед заданою точністю
. Побудуємо обчислювальний процес. Обчислимо середину проміжку
. Оскільки
, то буде:
, або
, або
. Якщо
, то знайдено точне значення кореня
і процес завершується. При
корінь міститься на проміжку
. Покладемо
. При
корінь міститься на проміжку
.і Покладемо
. Якщо довжина проміжку
більша за
, то знову обчислюється середина проміжку і т. д. Якщо довжина проміжку
менша за
, то процес обчислень завершується, а
вважається наближенням кореня
з точністю
.
2. Метод ітерацій. Нехай на проміжку
рівняння (1), де
неперервна на
функція, має єдиний корінь
. Замінимо рівняння (1) еквівалентним йому рівнянням
так, щоб
,
, а всі значення
належали проміжку
при
.
Починаючи з деякого початкового наближення
, знаходимо послідовні наближення
за формулою
,
. (2)
Обчислення завершуються при виконані умови
, (3)
при цьому
вважається наближеним значенням кореня
з заданою точністю
.
Рівняння (1) завжди можна подати у вигляді
так, щоб справджувалися вище наведені умови, наприклад,
, (4)
де
– стала. При
рівняння (4) і (1) еквівалентні. Сталу
добирають так, щоб в околі кореня
було
тобто, щоб задовольнялися умови
. Отже стала
повинна мати той самий знак, що й
, і задовольняти умову
. Процес збігається тим швидше, чим ближче
до нуля. Отже,
слід добирати так, щоб добуток
був якомога ближчим до
для всіх
.
3. Метод хорд (січних).Якщо функція
двічі неперервно диференційовна на проміжку
, похідні
відмінні від нуля і зберігають знак на цьому проміжку, а
, то за методом хорд наближене значення кореня
знаходять як абсцису точки перетину хорди, що проходить через точки
, з віссю
.
Послідовні наближення кореня
знаходять за формулою
,
, (5)
де
якщо
, або
якщо
. Обчислення завершуються при виконанні умови
, (6)
де
– задана точність,
,
При цьому
вважається наближеним значенням кореня
з заданою точністю
.
4. Метод дотичних (Ньютона).Якщо функція
задовольняє ті ж умови, що й у методі хорд, то за методом дотичних наближене значення кореня
знаходять як абсцису точки перетину дотичної до кривої
в одній із точок
чи
з віссю
.
Послідовні наближення кореня
знаходять за формулою
,
, (7)
де
якщо
, або
якщо
. Обчислення завершуються при виконані умови
, (8)
де
– задана точність,
,
, при цьому
вважається наближеним значенням кореня
з заданою точністю
.
5. Комбінований метод. Якщо функція
задовольняє ті ж умови, що й у методі хорд, і в методі дотичних, то для уточнення кореня
зручно комбінувати метод хорд і метод дотичних. При цьому одержуються оцінки кореня
зверху і знизу.
Послідовні наближення кореня
знаходять за формулами
, (9)
,
, (10)
де
якщо
, або
якщо
.
Обчислення завершуються при виконанні умови
, (11)
де
– задана точність, при цьому
вважається наближеним значенням кореня
з заданою точністю
.
Завдання:
Розробити програму обчислення таблиці значень інтеграла з заданою точністю
для
, що змінюється на інтервалі
з кроком
. Для обчислення значення інтеграла використати одну із формул наближеного інтегрування для завдань: 1-4 – прямокутників; 5-9 – трапецій; 10-14 – Сімпсона. У програмі використати підпрограму обчислення інтеграла за вказаною формулою, в яку передати підінтегральну функцію як параметр. Результати обчислень надрукувати у вигляді таблиці, в кожному рядку якої розмістити значення
і відповідне йому значення інтеграла.
1.
,
,
,
.
2.
,
,
,
.
3.
,
,
,
.
4.
,
,
,
.
5.
,
,
,
.
6.
,
,
,
.
7.
,
,
,
.
8.
,
,
,
.
9.
,
,
,
.
10.
,
,
,
.
11.
,
,
,
.
12.
,
,
,
.
13.
,
,
,
.
14.
,
,
,
.
Розробити програму уточнення коренів рівняння
на відрізку
з різною точністю
. Для уточнення коренів рівняння використати один із ітераційних методів для завдань: 15-18 – поділу відрізка навпіл; 19-21 – ітерацій; 22-24 – хорд; 25-27 – дотичних; 28-30 – комбінований. У програмі використати підпрограму уточнення коренів рівняння за вказаним методом, в яку передати як параметр функцію обчислення
. Результати обчислень надрукувати у вигляді таблиці, в кожному рядку якої розмістити значення
і відповідне йому значення кореня.
15.
,
.
16.
,
.
17.
,
.
18.
,
.
19.
.
20.
,
.
21.
,
.
22.
,
.
23.
,
.
24.
,
.
25.
,
.
26.
,
.
27.
,
.
28.
,
.
29.
,
.
30.
,
.