Теорема взаємності

Нехай джерела з густиною струмів зосередженні в об’ємі , а джерела з густиною струмів – в об’ємі . Області об’ємів і просторово не перетинаються (рис. 4.6).

Якщо розповсюдити інтегрування в рівнянні (4.61) на весь простір, при цьому поверхня піде в нескінченність. Згідно з теоремою єдиності (п.4.5) амплітуди полів і зменшуються при збільшенні відстані r від джерел швидше, ніж . Тоді ліва частина рівняння (4.61) перетвориться в нуль. Оскільки вектор густини сторонніх струмів не дорівнює нулю тільки в об’ємі , а в , то (4.69) буде мати вигляд:

. (4.70)

Вираз (4.70) – це математичне формулювання теореми взаємності. Фізичний зміст цієї теореми: поміняємо місцями стороні струми і . Для цього будемо вважати, що і .

З теореми взаємності слідує, що в цьому випадку , тобто сторонній струм з густиною збуджував в таке ж поле, яке він збуджує в об’ємі , якщо його помістити в об’єм . Це доведення дуже важливе в теорії антен. Якщо є дві однакові антени І і ІІ з однаковим розподілом струмів, то можна стверджувати що антена І створює у антени ІІ таке ж поле, яке антена ІІ створює в антені І.

Теорема взаємності справедлива тільки в середовищах, які мають симетричні тензори діелектричної і магнітної проникності ( , ). Ця умова виконується для більшості кристалічних середовищ. У випадку гіротропних середовищ (наприклад, феритів) тензор являється антисиметричним ( ). Тому для таких середовищ теорема взаємності несправедлива.