Рівняння Максвела являються диференційними рівняннями в частинних похідних і припускають безліч розв’язків. Щоб отримати єдиний розв’язок 
, 
необхідно, щоб ЕМП задовольняло не тільки рівнянням Максвела, але і деяким додатковим вимогам, які б однозначно визначали існування поля. Що це за вимоги і якими вони повинні бути, відповідає теорема єдиності.
При її доведенні розрізняють внутрішні і зовнішні задачі електродинаміки. Внутрішня задача – знаходиться ЕМП всередині V, обмеженого поверхнею S. Зовнішня задача – знаходиться ЕМП поза деяким об’ємом V.
Внутрішня задача електродинаміки. Теорема єдиності стверджує, що в середині області 
, обмеженої замкнутою поверхнею 
(рис. 4.4), розв’язок рівнянь Максвела для комплексних амплітуд
(4.58)
єдиний, якщо, по-перше, воно задовольняє одну з трьох крайових умов:
а) в кожній точці М поверхні S задана тангенціальна складова 
вектора 
( 
задача);
б) в кожній точці М поверхні S задана тангенціальна складова 
вектора 
( 
задача);
в) на одній частині поверхні 
задана , а на решті частини 
задана ( 
задача), причому 
– і якщо, по-друге, при відсутності втрат 
, частота 
в (4.50) не співпадає ні з одною з резонансних частот в області V.
Припустимо, що існують два розв’язки поставленої задачі 
і 
, які відповідають одному і тому ж розподілу густини стороннього струму 
.
Підставивши їх в (4.58) будемо мати два варіанти запису рівнянь. Віднявши з першого друге рівняння, найдемо, що різниця розв’язків
(4.59)
задовольняють однорідним рівнянням Максвела
. (4.60)
Величина зникає, оскільки в обох варіантах фігурувала одна і таж задана величина в(4.58).
На поверхні поле 
повинне задовольняти наступним граничним умовам:
у випадку Е – задачі 
; (4.61)
у випадку Н – задачі 
; (4.62)
у випадку Е Н – задачі 
на 
а на 
(4.63)
Рівняння балансу для активної потужності різниці поля буде мати вигляд
. (4.64)
Якщо об’єм заповнений поглинаючим середовищем, тобто 
, 
, то інтеграл з правої частини перетвориться в нуль, якщо 
, тобто два розв’язки рівнянь Максвела співпадають у всьому об’ємі V. Тоді перетвориться в нуль і інтеграл в лівій частині (4.64). Це виникне, при 
на всій поверхні S, або 
на частині поверхні ; а на частині поверхні 
, тобто повинні бути задані дотичні складові електричного, або магнітного полів.
Отже, задача дійсно має один розв’язок : 
і 
.
Якщо 
, то розв’язок буде нетривіальним, тобто не буде тотожно перетворюватися в нуль. Це свідчить про те, що в об’ємі не виникає перетворення електромагнітної енергії в її інші види. В цьому випадку розв’язки рівнянь Максвела не являються єдиними.
Зовнішня задача електродинаміки. В цьому випадку поверхні S не охоплює розглядувану частину простору, яка розповсюджується до нескінченості (рис. 4.5). Необхідно, крім перерахованих умов для єдиності розв’язку для внутрішньої задачі, знати додаткову умову, яка характеризує поведінку векторів і в точках, нескінченно віддалених від поверхні S.
Подумки проведемо з довільної точки О в середині об’єму V сферу 
радіусу r так, щоб об’єм V і сторонні джерела 
виявились в середині цієї сфери. Об’єм між S і позначимо 
(рис. 4.5). Будемо шукати розв’язок рівнянь Максвела в середині цієї сфери . Таким чином, зовнішня задача звелася до внутрішньої задачі електродинаміки. Для єдиності розв’язку необхідно, щоб всередині 
і
.
Так як сфера розташовується довільно, то треба щоб кожний з інтегралів дорівнював нулю. Щоб перший інтеграл дорівнював нулю, необхідно задавати дотичні складові 
і 
. Спрямувавши радіус сфери до нескінченності, з рівності нулю другого інтегралу отримаємо
. (4.65)
При 
поверхня зростає пропорційно до 
. Отже, щоб виконалась умова (4.65), необхідно, щоб абсолютна величина добутку 
при зменшувалась швидше, ніж 
, тобто амплітуда векторів 
і 
зменшувались швидше 
. Для цього достатньо, щоб невідомі величини і зменшувались швидше . Останнє завжди має місце, тобто в реальних середовищах існують втрати енергії.
Таким чином, розв’язок зовнішньої задачі існує і в єдиному вигляді, якщо середовище, яке заповнює простір являється поглинаючим; на поверхні області, поза якою визначене поле, задані дотичні складові і і електромагнітне поле задовольняє умові (4.57).
Для середовища без втрат теорему єдиності для зовнішньої задачі електродинаміки можна довести, якщо замість умови зменшення векторів і при швидше вимагати виконання наступних умов:
. (4.66)
Співвідношення (4.58) називаються умовами випромінювання: при необхідно, щоб поле мало характер сферичних хвиль, які розходяться від джерела. Співвідношення (4.66) відомо ще як умова випромінювання Зомерфельда.
