Граничні умови для векторів електричного поля

А. Нормальні складові. Вектор електричної індукціїпідлягає наступній граничній умові:

, або . (3.3)

Вираз (3.3) показує, що при переході з одного середовища в інше, нормальна компонента векторамає стрибок, який дорівнює поверхневій густині заряду , розподіленого вздовж межі розділу. Якщо , то нормальна компонента векторазалишається неперервною при переході з одного середовища в інше:

при , (3.4)

де і проекції векторівіна нормаль.

Вивід. Доведення будується на застосуванні третього рівняння Максвела в інтегральній формі. На поверхні розділу двох середовищ з параметрами і виділимо достатньо малий елемент (рис. 3.3), щоб його можна було вважати плоским. Побудуємо на елементі прямий циліндр висотою так, щоб його основи були в різних середовищах. Через малі розміри циліндра поле на його основах можна вважати однорідним:. Зовнішня нормаль до верхньої основи напрямлена по , а до нижньої – протилежно . Поверхню циліндра можна представити у вигляді , де і – площі верхньої і нижньої основи, а – бокова поверхня. Тоді рівняння Максвела можна переписати

(3.5)

де

Спрямуємо висоту циліндра до нуля так, щоб його основи залишалися в різних середовищах. При цьому в границі і збігаються з . Через те, що елемент в (3.5) збігається за напрямком з зовнішньою нормаллю до поверхні , то в результаті граничного переходу, отримаємо:

, (3.6)

деі – значення векторана межі розділу в першому і другому середовищі відповідно.

В (3.6) при зник потік через , а також стає рівним нулю об’єм, то зникає і та частина заряду, яка могла б бути розподілена в ньому, тобто залишається тільки заряд, який зосереджений на межі розділу. Якщо розділити обидві частини рівності (3.6) на , отримаємо

,

або

.

Бачимо, що ця рівність повністю співпадає з (3.3).

Якщо в (3.3) виразити і через і за допомогою рівності , отримаємо граничну умову для нормальних компонент вектора :

(3.7)

Якщо , то

(3.8)

Б. Дотичні тангенціальні складові. Для дотичних складових векторагранична умова має вигляд

, або . (3.9)

Рівність (3.9) показує, що дотичні складові векторапри переході через межу розділу двох середовищ неперервна. Напрямок орту може змінюватися (рис. 3.1), тому більш зручно зробити запис через орт, через те, що його напрямок вибирається однозначно, тоді

. (3.10)

Вивід. Геометрія задачі: перетнемо межову поверхню S площиною Р, яка проходить через нормальдо S (рис. 3.4).

На лінії перетину поверхні розділу і площини Р виділимо достатньо малий відрізок так, щоб точка, яка розглядається знаходилась в середині цього відрізка. Розміри повинні бути такими, щоб його можна було вважати прямолінійним.

На відрізку побудуємо прямокутний контур ABCD висоти , щоб він знаходився в обох середовищах.

Проведемо додатковий ортперпендикулярний до площини Р і одиничну дотичну до відрізка . Всі три орта , , зв'язані співвідношенням

, (3.11)

і складають праву трійку векторів.

Вивід базується на застосуванні другого рівняння Максвела в інтегральній формі, причому в якості контуру в ньому, вибираємо контур ABCD. Через його малі розміри, поле на сторонах АВ і СD можна вважати однорідним:. Напрямок обходу контуру беремо як вказане на рис. 3.4. Тому можна записати

, (3.12)

де – площа, яка охоплюється контуром.

В границі при сторони AB і CD збігаються на межі S з ; при цьому : і права частина (3.12) зникають. Відкидаючи спільний множник , формально приходимо до (3.9)

.

Ця рівність справедлива для будь-якого напрямку на S.

Щоб отримати граничні умови в формі (3.10) замінимо в (3.10) через , а потім врахувавши властивість змішаного добутку векторів, отримаємо:

.

Через те, що орт, який задає орієнтацію площини Р являється невизначеним, отримаємо

,

що співпадає з (3.10).

Дотична складова вектору, навпаки, має розрив, величина, якого складає відношення діелектричних проникностей середовищ

. (3.13)

Виведені граничні умови показують, що векториіна межі розділу заломлюються. Проілюструємо це на прикладі (рис. 3.5). Позначимо кути між нормаллюдо поверхні розділу і векторамиівідповідно через і . Через те, що , а , то використовуючи граничні умови (3.9) і (3.8), отримуємо, що при відсутності поверхневих зарядів на межі розділу справедливе наступне співвідношення:

(3.14)

В ізотропних середовищах вектори інапрямлені однаково. Тому (3.14) справедливо для вектору.