А. Нормальні складові. Вектор електричної індукції
підлягає наступній граничній умові:
, або
. (3.3)
Вираз (3.3) показує, що при переході з одного середовища в інше, нормальна компонента вектора
має стрибок, який дорівнює поверхневій густині заряду
, розподіленого вздовж межі розділу. Якщо
, то нормальна компонента вектора
залишається неперервною при переході з одного середовища в інше:
при
, (3.4)

де
і
проекції векторів
і
на нормаль
.
Вивід. Доведення будується на застосуванні третього рівняння Максвела в інтегральній формі. На поверхні розділу двох середовищ з параметрами
і
виділимо достатньо малий елемент
(рис. 3.3), щоб його можна було вважати плоским. Побудуємо на елементі
прямий циліндр висотою
так, щоб його основи були в різних середовищах. Через малі розміри циліндра поле на його основах можна вважати однорідним:
. Зовнішня нормаль до верхньої основи напрямлена по
, а до нижньої – протилежно
. Поверхню циліндра можна представити у вигляді
, де
і
– площі верхньої і нижньої основи, а
– бокова поверхня. Тоді рівняння Максвела можна переписати
(3.5)
де 
Спрямуємо висоту циліндра
до нуля так, щоб його основи залишалися в різних середовищах. При цьому в границі
і
збігаються з
. Через те, що елемент
в (3.5) збігається за напрямком з зовнішньою нормаллю до поверхні
, то в результаті граничного переходу, отримаємо:
, (3.6)
де
і
– значення вектора
на межі розділу в першому і другому середовищі відповідно.
В (3.6) при
зник потік через
, а також стає рівним нулю об’єм, то зникає і та частина заряду, яка могла б бути розподілена в ньому, тобто залишається тільки заряд, який зосереджений на межі розділу. Якщо розділити обидві частини рівності (3.6) на
, отримаємо
,
або
.
Бачимо, що ця рівність повністю співпадає з (3.3).
Якщо в (3.3) виразити
і
через
і
за допомогою рівності
, отримаємо граничну умову для нормальних компонент вектора
:
(3.7)
Якщо
, то
(3.8)
Б. Дотичні тангенціальні складові. Для дотичних складових вектора
гранична умова має вигляд
, або
. (3.9)
Рівність (3.9) показує, що дотичні складові вектора
при переході через межу розділу двох середовищ неперервна. Напрямок орту
може змінюватися (рис. 3.1), тому більш зручно зробити запис через орт
, через те, що його напрямок вибирається однозначно, тоді
. (3.10)
Вивід. Геометрія задачі: перетнемо межову поверхню S площиною Р, яка проходить через нормаль
до S (рис. 3.4).
На лінії перетину поверхні розділу і площини Р виділимо достатньо малий відрізок
так, щоб точка, яка розглядається знаходилась в середині цього відрізка. Розміри
повинні бути такими, щоб його можна було вважати прямолінійним.
На відрізку
побудуємо прямокутний контур ABCD висоти
, щоб він знаходився в обох середовищах.
Проведемо додатковий орт
перпендикулярний до площини Р і одиничну дотичну
до відрізка
. Всі три орта
,
,
зв'язані співвідношенням
, (3.11)
і складають праву трійку векторів.
Вивід базується на застосуванні другого рівняння Максвела в інтегральній формі, причому в якості контуру
в ньому, вибираємо контур ABCD. Через його малі розміри, поле на сторонах АВ і СD можна вважати однорідним:
. Напрямок обходу контуру беремо як вказане на рис. 3.4. Тому можна записати
, (3.12)
де
– площа, яка охоплюється контуром.

В границі при
сторони AB і CD збігаються на межі S з
; при цьому
:
і права частина (3.12) зникають. Відкидаючи спільний множник
, формально приходимо до (3.9)
.
Ця рівність справедлива для будь-якого напрямку
на S.
Щоб отримати граничні умови в формі (3.10) замінимо
в (3.10) через
, а потім врахувавши властивість змішаного добутку векторів, отримаємо:
.
Через те, що орт
, який задає орієнтацію площини Р являється невизначеним, отримаємо
,
що співпадає з (3.10).
Дотична складова вектору
, навпаки, має розрив, величина, якого складає відношення діелектричних проникностей середовищ
. (3.13)
Виведені граничні умови показують, що вектори
і
на межі розділу заломлюються. Проілюструємо це на прикладі (рис. 3.5). Позначимо кути між нормаллю
до поверхні розділу і векторами
і
відповідно через
і
. Через те, що
, а
, то використовуючи граничні умови (3.9) і (3.8), отримуємо, що при відсутності поверхневих зарядів на межі розділу справедливе наступне співвідношення:
(3.14)
В ізотропних середовищах вектори
і
напрямлені однаково. Тому (3.14) справедливо для вектору
.