Поля на межі розділу середовищ

У будь-якій задачі електромагнітне поле тим або іншим чином обмежене у просторі. Природними межами можуть бути, наприклад, металеві стінки, або межа розділу між середовищами з різними параметрами. Якщо параметри середовищ на межі розділу змінюються стрибком, то і компоненти векторів ЕМП теж мають розрив в точках межі. Необхідно знайти зв’язок між векторами ЕМП на межі, які б задовольняли рівнянням Максвела.

Математична постановка задачі. Нехай поверхня розділяє середовища 1 і 2 . Виберемо на точку М і виділимо в її околі малий елемент поверхні , вважаючи його плоским (рис. 3.1). До точки М проведемо орт нормалі (напрямок з середовища 2 в 1). На можна провести безліч дотичних ортів. Виберемо з них два ортогональних і . При цьому отримуємо трійку векторів , , за якими можна розкласти будь-який з векторів , , , в точці М. Якщо вектор вибраний так, що він співпадає з проекцією деякого вектора на , то маємо розкладення

, (3.1)

де – нормальна,

– дотична компонента вектора .

Орти , , утворюють праву трійку векторів і зв’язані співвідношенням

(3.2)

Межа розділу середовищ, яка розглядається – це поверхня, на якій параметри e_а, m_а, g (принаймні один з них) мають розрив як функції нормалі. Тому компоненти векторів поля при переході межі розділу теж матимуть розриви: або обидві компоненти поля, або одна з них змінюватиметься стрибком. Тоді векторна лінія матиме перегин. На межі перехід від до приходять зі зміною абсолютної величині і напрямку вектора (рис. 3.2 а, б).

В точках розриву застосування диференційних рівнянь Максвела неможливе. Тому звернемося до інтегральних виразів цих рівнянь і отримаємо важливі співвідношення, які називаються граничними умовами.