Гармонічні коливання і комплексні амплітуди

Всі реальні електромагнітні процеси можна представити або у вигляді суми дискретних гармонічних коливань, або у вигляді неперервного спектра гармонічних коливань. Такі представлення мають великий практичний і теоретичний інтерес і поля називають монохроматичними (однокольоровими). Назву запозичено з оптики: кожному кольору відповідає коливання певної частоти.

Аналіз гармонічних коливань значно спрощується при використані методу комплексних амплітуд, суть якого полягає в наступному: замість будь-якої скалярної функції , яка змінюється по закону

, (2.45)

де – амплітуда,

– початкова фаза коливань,

– циклічна частота гармонічного коливання, вводиться в розгляд комплексна функція:

. (2.46)

Величину називають комплексною амплітудою функції .

Для переходу від комплексної функції до початкової треба взяти від реальну частину

. (2.47)

Аналогічно, замість вектора

(2.48)

можна ввести до розгляду комплексний вектор

. (2.49)

Вираз (2.49) можна переписати у вигляді

, (2.50)

де

(2.51)

– комплексна амплітуда вектора .

Для переходу до початкового вектора необхідно взяти реальну частину від

. (2.52)

Якщо функції і задовольняють лінійним диференційним рівнянням, то їм також задовольняють відповідні комплексні функції і .

Визначення комплексних функцій простіше визначення початкових. Це пояснюється тим, що диференціювання комплексної функції за часом рівносильне множенню на , а інтегрування по часі – діленню на .

Запишемо співвідношення, яке витікає з формули Ейлера

. (2.53)