Третє рівняння Максвела (узагальнена теорема Гауса)

Закон Гауса встановлює зв’язок між векторним полем і величиною заряду, який його породжує. Розглянемо деякий об’єм , обмежений замкненою поверхнею (рис. 2.4, а). В середині об’єму знаходиться електричний заряд . Математично теорема Гауса формулюється

. (2.23)

Потік вектора через поверхню чисельно дорівнює заряду поділеному на . Якщо заряд розподілений неперервно, то визначається як

, (2.24)

де – об’ємна густина заряду.

Підставив (2.24) в (2.23) маємо

, (2.25)

Вираз (2.25) можна записати в іншому виді, якщо використати матеріальне рівняння :

. (2.26)

Рівняння (2.26) – це третє рівняння Максвела в інтегральній формі.

Диференційна форма. Використовуючи результат теореми Остроградського-Гауса

, (2.27)

отримаємо

. (2.28)

Ця рівність виконується при будь-якому об’ємі, а це можливе тільки в тому випадку, якщо

. (2.29)

Співвідношення (2.29) – це третє рівняння Максвела в інтегральній формі.

З (2.29) слідує, що дивергенція вектора відміна від нуля тільки в тих точках простору, де є вільні заряди. В цих точках лінії вектора мають початок (витік) (рис. 2.4, б) і кінець (стік) (рис. 2.4, в). Лінії вектора починаються на позитивних зарядах і закінчуються на негативних. Такі поля називаються потенційними.

В прямокутній системі координат рівняння (2.29) записується у вигляді

. (2.30)