Друге рівняння Максвела (узагальнений закон електромагнітної індукції)

Друге рівняння є узагальненням закону індукції Фарадея: якщо замкнений контур пронизується змінним струмом , то в контурі виникає ЕРС, яка дорівнює швидкості зміни магнітного потоку (рис. 2.3):

. (2.15)

Знак “мінус” в правій частині (2.15) означає, що ЕРС нібито прагне перешкодити зміні потоку , який пронизує цей контур. Це положення відоме як “правило Лоренца”. Це рівняння справедливо тільки для провідного контуру. Максвел припустив, що це рівняння справедливе також і в тому випадку, якщо середовище не має провідність. Відомо, що будь-яка ЕРС, яка наводиться на контур і, дорівнює циркуляції вектора по цьому контуру:

. (2.16)

Магнітний струм зв’язаний з вектором співвідношенням

, (2.17)

де – довільна поверхня, яка опирається на контур ;

, – орт нормалі до поверхні , який утворює правогвинтову систему з обходом контуру (2.13).

Підставляючи формули (2.17) і (2.16) в (2.15), отримуємо

. (2.18)

Це співвідношення (2.18) придатне для контуру скінчених розмірів і називається другим рівнянням Максвела в інтегральній формі.

Диференційна форма. Якщо вважати, що контур нерухомий і не змінюється з часом, тоді можливо похідну по часі внести під знак інтеграла (2.18)

. (2.19)

Застосовуючи теорему Стокса

,

можна переписати (2.19) у вигляді

. (2.20)

Через те, що – довільна поверхня, то (2.20) виконується у випадку, якщо

. (2.21)

Співвідношення (2.21) – це диференційна форма другого рівняння Максвела.

В прямокутній системі координат отримуємо три скалярних рівняння:

. (2.22)

З (2.21) слідує, що ротор напруженості електричного поля в будь-який його точці дорівнює по величині і протилежний за знаком швидкості зміни індукції в цій точці.