Трьом векторам , і можна поставити у відповідність вектор, що дорівнює . Цей вектор називають подвійний векторним добутком векторів , і . Подвійний векторний добуток зустрічається в механіці і фізиці.
Теорема 5.1. Подвійний векторний добуток виражається через лінійну комбінацію двох або трьох своїх множників за формулою:
.
Доведення. Позначимо через різницю лівої і правої частини цієї рівності
.
Нам достатньо показати, що .
Припустимо, що вектори і неколінеарні. Тоді їх векторний добуток не дорівнює нульовому вектору і ортогональний ненульовому вектору . Вектори , , утворюють правий ортонормований базис в . У цьому базисі справедливі наступні співвідношення:
, , ,
і тому , .
Крім того, , .
У результаті бачимо, що й у випадку неколінеарних векторів і виконується рівність
.●