Нерівності

Чисту одиночну премію деколи плутають з поточним значенням . Ці значення не співпадають; насправді справедлива нерівність

. (7.1)

З врахуванням (6.7) и тотожності , де - число повних років до смерті людини в віці , справедлива рівносильна нерівність

. (7.2)

Кожна з цих нерівностей є прямим наслідком нерівності Йєнсена; наприклад, друга нерівність означає

, (7.3)

що очевидно, оскільки є випуклою функцією від .

Метою розділу є узагальнення цих нерівностей. Будемо розглядати чисту одиночну премію , як функцію сили відсотка :

; (7.4)

це є перетворення Лапласа розподілу змінної . Визначимо також функцію

, . (7.5)

Для малих значень можна апроксимувати (7.4) величиною . Тому існує і має значення

. (7.6)

Лема. Функція монотонно зростає

Для доведення візьмемо два додатних числа і покажемо, що

. (7.7)

З нерівності Йєнсена випливає

. (7.8)

Тому

, (7.9)

звідки маємо (7.7), що й доводить лему.

З леми випливає, що , тому

. (7.10)

З (7.6) можна також знову отримати нерівність (7.2).

Розглянемо три різні сили відсотка . З леми маємо

, (7.11)

тому

, (7.12)

що дозволяє оцінити за значеннями і .

Наприклад, нехай

для ,

для .

Тепер можна знайти границі для чистих одиночних премій і при . З (7.12) при

, ,

відразу маємо

.

З тотожності отримуємо

.

Замінивши на і на

, , (7.13)

отримуємо нерівності

, (7.14)

, (7.15)

(7.16)

за допомогою аналогічних міркувань.

Перші дві похідні функції дорівнюють

,

. (7.17)

Таким чином - монотонно спадна і опукла функція від . Тому довільна частина кривої лежить нижче січної

, (7.18)

але вище дотичних

,

. (7.19)

Деколи оцінки (7.18), (7.19) виявляються кращими від оцінки (7.12). Для наведеного прикладу верхня оцінка, яка отримана з (7.18), має вид

.

Нижня границя для також покращена

.