Рекурентні формули

Обмежимося аналізом рекурентних формул для функції . Замінивши на у всіх, крім першого, доданку рівності (2.5), отримаємо

. (6.1)

Значення можна підрахувати послідовно, починаючи з максимально можливого віку.

Вираз (6.1) можна представити в еквівалентній формі

. (6.2)

Звідси видно, що чиста одиночна премія забезпечує платіж вперед для віку плюс поточне значення чистої одиночної премії для віку мінус очікуване зменшення з причини смертності.

Застосування (6.2) до віку дає

. (6.3)

Помноживши це співвідношення на і сумуючи по , отримаємо

. (6.4)

Тому чиста страхова премія може розглядатися як поточне значення нескінченного аннуітету, зменшеного кожного року з врахуванням смертності.

Нарешті, запишемо (6.2) в формі

, (6.5)

звідки очевидним є залежність прибутку від відсоткової ставки.

По аналогії з (6.5) можна отримати диференціальне рівняння

(6.6)

підстановкою співвідношень

, (6.7)

в формулу (6.11) лекції 3.