Стандартні типи аннуітетів життя

Розглянемо аннуітет життя в формі (4.1) при . Його чиста одиночна премія, яка позначається , може бути безпосередньо визначена з (4.2).

Просте співвідношення пов’язує і . Замінюючи на в тотожності

, (5.1)

і беручи середні значення, отримаємо

, (5.2)

що нагадує нам (2.8).

Перейдемо до випадку платежів на рік зі щорічним збільшенням

, . (5.3)

Чиста одиночна премія такого аннуітету життя позначається . Представивши цей аннуітет у вигляді суми відкладених аннуітетів, з врахуванням (3.5) отримаємо

. (5.4)

Цей вираз можна обчислити безпосередньо.

Поклавши , отримаємо відповідний неперервний аннуітет з інтенсивністю платежів . Його чиста одиночна премія дорівнює

. (5.5)

Поточне значення неперервного аннуітету життя з інтенсивністю платежів дорівнює

. (5.6)

Усереднення дає формулу

. (5.7)

Цей вираз можна оцінити з використанням співвідношення (5.18) теми 3 і рівності (3.5) при .

Отримання відповідних формул стандартного спадного і термінового аннуітетів залишається в якості вправи.