Змінні аннуітети

Розглянемо аннуітети життя, для яких виплати дорівнюють в моменти часу . Поточне значення дорівнює

, (4.1)

а чиста одиночна премія визначається співвідношенням

. (4.2)

Розглянемо тепер загальний аннуітет з виплатами в моменти часу . Почнемо з заміни виплат протягом кожного року однією річною виплатою на початку року:

, . (4.3)

Коректуючий доданок для року смерті означає від’ємне страхування, застрахована сума в проміжку , дорівнює поточному значенню пропущених виплат

, (4.4)

де - множина тих індексів , для яких . Для обчислення одиночної премії ми використаємо ситуацію А і діємо по аналогії з розділом 4 лекції 3. Підставляючи (4.4) в вираз (4.10) лекції 3, отримуємо

. (4.5)

Чиста одиночна премія для загального аннуітету життя з виплатами протягом кожного року дорівнює

, (4.6)

з коефіцієнтами, які визначаються з (4.3) і (4.5)

Випадок неперервновиплачуваного аннуітету отримується спрямуванням . Нехай виплата в момент дорівнює . Тоді поточне значення виплат визначається співвідношенням

. (4.7)

Чиста одиночна премія

(4.8)

може бути обчислена з використанням формули (4.6), якщо коефіцієнти визначити співвідношенням

, . (4.10)

Розглянемо приклад неперервного аннуітету життя з експоненціальним зростанням

. (4.11)

З (4.9) і (4.10) отримаємо

(4.12)

і

(4.13)

при , і

, (4.14)

при . В випадку постійної величини виплат ( ) рівності (4.12) і (4.13) спрощуються

, , (4.15)

що відповідає (3.12).