Розглянемо випадок, коли виплати суми проводяться разів на рік, тобто в моменти часу , поки людина жива. Чиста одиночна премія такого аннуітету позначається . По аналогії з (2.8) ми маємо
. (3.1)
Звідси отримуємо
. (3.2)
Це рівняння можна інтерпретувати так: Аннуітет життя, який виплачується разів на рік, можна розглядати як різницю двох вічних аннуітетів, які починаються в моменти 0 і . Усереднюючи, отримаємо (3.2).
Для отримання виразу через ми знову використаємо ситуацію А розділу 6 теми 2, звідки формула (3.10) теми 3 дозволяє виразити з (3.2) в термінах . Замінюючи потім , ми можемо записати (3.2) у вигляді
. (3.3)
Ввівши позначення
и , (3.4)
ми можемо записати (3.2) коротше
. (3.5)
При коефіцієнти і протабульовані нижче для (помісячні платежі) і (неперервні платежі).
M
|
|
|
| 1.000197
| 0.46651
|
| 1.000198
| 0.50823
|
Як правило використовується апроксимація
, . (3.6)
Ця апроксимація отримується з розкладу ряд Тейлора коефіцієнтів в околі , тобто
, (3.7)
. (3.8)
Очевидно, що ця апроксимація корисна тільки у випадку, коли сила відсотку достатньо мала.
Чиста одиночна премія термінового аннуітету життя pre-numerando з платежами щорічно може бути тепер виражена з використанням і :
. (3.9)
Чисту одиночну премію аннуітету post-numerando можна обчислити в термінах відповідних аннуітетів pre-numerando:
. (3.10)
Повернемося до обчислення . Рівняння (2.8) і (3.1) дають точне співвідношення
, (3.11)
яке можна інтерпретувати так: Аннуітет життя з лівої сторони означає виплати суми в моменти часу і дорівнює різниці двох термінових аннуітетів, перший з виплатами в моменти , а другий – в моменти . Другий терміновий аннуітет в свою чергу може розглядатися як різниця двох нескінченних аннуітетів (які починаються в моменти і ). Перший терміновий аннуітет має таке ж поточне значення, як аннуітет pre-numerando з щорічними виплатами сумі . Усереднюючи ці поточні значення, отримуємо (3.11).
При ситуації А використання (3.10) дає
. (3.12)
Ця формула має очевидну інтерпретацію, на відміну від математично еквівалентної формули (3.5).