Метод вузлових потенціалів

При розрахунку електричних кіл методом вузлових потенціалів як допоміжні невідомі використовують потенціали вузлів кола відносно одного з них – опорного вузла, потенціал якого приймають рівним нулю.

Якщо схема кола має п вузлів і потенціал опорного вузла то потенціали решти вузлів відносно опорного позначають як , внаслідок цього число невідомих зменшується з п до п-1 і стає рівним числу рівнянь, які необхідно скласти для кола згідно з першим законом Кірхгофа. Потім струми у вітках визначають через знайдені потенціали вузлів.

Метод вузлових потенціалів є економічнішим для розрахунку струмів у складних колах в тих випадках, коли джерелами енергії є джерела струмів і, коли число вузлів хоч би на одиницю менше числа незалежних контурів. Цей метод дає можливість зберегти тільки ті рівняння Кірхгофа, які складені для вузлів, і вилучити рівняння для контурів.

Розрахункові рівняння методу вузлових потенціалів:

(1.28)

де – шуканий потенціал k–го вузла кола;

– власна (вузлова) провідність k–го вузла, яка рівна сумі провідностей усіх віток, що приєднані до цього вузла;

– взаємна міжвузлова провідність вузлів k і т, яка рівна сумі провідностей усіх віток, увімкнених безпосередньо між цими вузлами, причому, якщо в деякій вітці є кілька опорів, то спочатку визначають загальний опір цієї вітки, а потім її провідність;

– вузловий струм k–го вузла, розрахункова величина якого визначається з виразу:

, (1.29)

де п – число віток з джерелами ЕРС, а т – число віток з джерелами струму.

У рівності (1.29) в першій сумі – добутків провідностей віток, що під’єднані до k–го вузла, на ЕРС цих віток – ЕРС береться додатною (від’ємною), якщо вона направлена до k–го вузла (від k–го вузла). У другій сумі зі знаком «+» («–») враховуються струми джерел струмів, які направлені до k–го вузла (від k–го вузла).

Якщо в електричному колі між двома вузлами увімкнене ідеальне джерело ЕРС (внутрішній опір його рівний нулеві), то необхідно прийняти рівним нулеві потенціал одного з його полюсів; тоді потенціал другого полюса джерела буде рівним величині ЕРС з відповідним знаком, а кількість розрахункових рівнянь скоротиться.

Послідовність розрахунку складного кола методом вузлових потенціалів розглянемо на конкретному прикладі.

Приклад 1.5. Визначимо методом вузлових потенціалів струми у вітках складного електричного кола (рис. 1.22) за відомими значеннями фізичних величин:

; ;

; ;

; ;

; ;

.

Розв’язання. Виберемо довільно додатні напрямки струмів у вітках, позначимо цифрами вузли кола і приймемо потенціал вузла 0 рівним нулеві ( ).

Тоді: .

За допоміжні невідомі будемо вважати потенціали , й решти вузлів кола, для визначення яких складемо систему розрахункових рівнянь:

(1.30)

Власні провідності вузлів:

Міжвузлові провідності:

Вузлові струми кола згідно з виразом (1.29):

Вузловий струм третього вузла рівний нулю, оскільки в жодній вітці, що приходить до цього вузла, немає ні джерела ЕРС, ні джерела струму.

Підставимо обчислені значення провідностей і вузлових струмів у систему рівнянь (1.30):

(1.30,а)

Потенціали , й знаходимо як розв’язки цієї системи:

,

де

При вибраному спрямуванні струмів у вітках їх величини визначаються таким алгоритмом:

У чисельнику виразу для струму від потенціалу вузла, з якого струм витікає, віднімається потенціал вузла, до якого струм підтікає; якщо при цьому у вітці є ЕРС, то вона враховується зі знаком «+» («–»), коли її напрямок співпадає (протилежний) з напрямком струму в цій вітці. В знаменнику виразу для струму записується загальний опір вітки. Отже,

Струм визначимо з першого закону Кірхгофа, записаного стосовно вузла 4: