Еквівалентні перетворення електричних кіл

1.4.1. Взаємні еквівалентні перетворення трикутника та зірки пасивних двополюсників

На рис. 1.10, а зображено схему з’єднання трьох пасивних двополюсників , , в зірку, на рис. 1.10, б – трьох пасивних двополюсників , , у трикутник. Ці схеми будуть еквівалентними тоді, коли при однакових відповідних напругах , , вхідні струми , , в обох схемах також будуть відповідно однаковими. Ця умова рівнозначна умові рівності вхідних опорів (провідностей) між будь-якими парами вузлів 1–2; 2–3; 3–1 приведених схем.

Таким чином, можна записати:

;

; (1.16)

.

З рівностей (1.16) знаходимо опори зірки:

; ; , (1.17)

де

.

Згідно з (1.17) опір променя зірки рівний добутку двох відповідних примикаючих опорів трикутника, поділеному на суму опорів усіх сторін трикутника.

Далі маємо:

;

; (1.18)

,

тобто опір сторони трикутника рівний сумі двох відповідних примикаючих опорів зірки і їх добутку, поділеному на третій опір зірки.

Слід відзначити, що виведені формули еквівалентних перетворень можна застосувати й до схем зірок і трикутників, складених з активних двополюсників. Справді, якщо в променях зірок є ЕРС, то їх завжди можна віднести до зовнішньої схеми.

Приклад 1.1. Визначимо струми у вітках електричного кола, схему якого наведено на рис. 1.11, при наступних значеннях фізичних величин: ;

;

;

;

;

;

.

Розв’язання. Загальний струм у вузлі розгалужується на два струми: й . Напрямок струму залежить від параметрів схеми і визначається тільки після її розрахунку. Крім цього, дане коло не має ні послідовного ні паралельного сполучення віток (ділянок), тобто є складним електричним колом, яке має два з’єднання зіркою ( і ) та два з’єднання трикутником ( і ).

Перетворимо трикутник опорів (рис. 1.11) в еквівалентну зірку (рис. 1.12, а). З цією метою від вузлів від’єднаємо і на його місце підключимо , опори якої:

.

Далі розрахунок одержаної схеми виконується відомими методами. Дійсно, опори й та й сполучені у вітках послідовно, тоді:

;

.

Опори і сполучені паралельно (рис. 1.12, б) і їх еквівалентний опір:

.

Еквівалентний опір всього кола (рис. 1.12, в):

.

Струм у нерозгалуженій частині кола:

.

Міжвузлова напруга (рис. 1.12, в):

прикладена одночасно до віток ОАС й ОDC, (рис. 1.12, б), по яких протікають струми й відповідно:

Для визначення струму складемо рівняння другого закону Кірхгофа для контуру ADCA (рис. 1.11), обходячи його в напрямку годинникової стрілки:

або

.

Звідси одержуємо: .

Струми першої і четвертої віток (рис. 1.11):

;

.

Розглянута схема електричного кола являє собою вимірювальну мостову схему, в якій діагональний струм рівний нулю при рівності добутків величин опорів протилежних плечей моста:

або .