Вільні затухаючі коливання

Будь-який реальний контур володіє активним опором. Енергія, накопичена в контурі, поступово витрачається в цьому опорі на нагрівання, внаслідок чого вільні коливання затухають. Рівняння (7.1.2), записане для кола 1-3-2, зображеного на рис.6.3, має вигляд

. (7.2.1)

Розділимо це рівняння на L і замінивши І через , а dI/dt через , отримаємо

. (7.2.2)

Врахувавши (7.1.5) і позначивши

, (7.2.3)

рівнянню (7.2.2) можна надати вигляд

. (7.2.4)

Рис.7.3

Останнє рівняння співпадає з диференціальним рівнянням затухаючих механічних коливань.

За умови, що , розв’язок рівняння (7.2.4) має вигляд

, (7.2.5)

де .

. (7.2.6)

Таким чином, частота затухаючих коливань менше власної частоти . При R=0 вираз (7.2.6) переходить в (7.2.5).

Розділимо функцію (7.2.5) на ємність С і отримаємо напругу на конденсаторі:

. (7.2.7)

Щоб знайти силу струму необхідно про диференціювати (7.2.5) по часу:

.

.

.

Введемо кут , що визначається умовами

, .

Тоді можна записати:

. (7.2.8)

Оскільки , а , значення лежить в межах від до . Таким чином, при наявності в контурі активного опору сила струму випереджає по фазі напругу на конденсаторі на (при R=0 випередження складає ).

Графік функції (7.2.5) зображено на рис. 7.4. Графіки для напруги і сили струму мають аналогічний вигляд.

Затухання коливань прийнято характеризувати логарифмічним дикриментом затухання.

, (7.2.9)

де а(t) – амплітуда відповідної величини (q, U чи I).

Рис. 7.4

Логарифмічний дикримент затухання обернений до числа коливань N_е, що здійснюються за час, протягом якого амплітуда зменшується в е раз:

.

Підставивши в (7.2.9) значення (7.2.3) отримаємо наступний вираз:

. (7.2.10)

Частота , а відповідно і визначається параметрами контуру L, C, R. Таким чином, логарифмічний дикримент затухання є характеристикою контуру.

Якщо затухання невелике , можна покласти в (7.2.10) . Тоді

. (7.2.11)

Коливальний контур часто характеризують його добротністю,яка визначається як величина, обернено пропорційна логарифмічному дикрименту затухання:

. (7.2.12)

З рівняння (7.2.12) випливає, що добротність контуру тим вища, чим більше число коливань встигає здійснитися до того, як амплітуда зменшиться в е раз. У випадку слабкого затухання

. (7.2.13)

При слабкому затуханні добротність механічної коливальної системи дорівнює відношенню енергії, накопиченої в системі в даний момент, до зменшення цієї енергії за один період коливань. Покажемо, що це справедливо і для електричних коливань.

Амплітуда сили струму в контурі зменшується за законом . Енергія W, накопичена в контурі, пропорційна квадрату амплітуди сили струму (або квадрату амплітуди напруги на конденсаторі); відповідно, W зменшується за законом . Відносне зменшення енергії за період дорівнює

.

При незначному затуханні (тобто за умови, що ) можна вважати приблизно рівним :

.

Замінивши логарифмічний дикримент затухання на добротність:

. (7.2.14)