Теорема Стокса

Знаючи ротор вектора швидкості в кожній точці поверхні S, можна знайти циркуляцію цього вектора по контуру Г.

Розіб’ємо поверхню на елементи dS.

За рівнянням (2.11) циркуляція швидкості по контуру, що обмежена поверхнею dS може бут представлена у вигляді:

циркуляція ,

де n – позитивна нормаль до елементу поверхні dS.

Просумуємо вирази по всій поверхні S і здійснимо граничний перехід, при якому всі значення ∆S →0. Отримаємо:

.

Дійсно, просумувавши всі , побачимо, що вони взаємознищуються.

Для ділянки ∆S, яка лежить зліва MN, ділянка при визначенні циркуляції проходить в напрямі від N до M, а для ∆S справа від NM та сама ділянка проходить в напрямі від M до N і таким чином для суміжних площадок відрізняються лише знаком. Некомпенсованими будуть лише ті , які лежать ззовні контуру Г.

Маємо:

.

Теорема Стокса для вектора напруженості:

. (2.12)

Рис. 2.6

Лекція 3