Циркуляція і ротор вектора напруженості

Уявимо замкнутий контур Г, через який рухається ідеальна рідина (рис.2.4). Заморозимо миттєво рідину у всьому об’ємі за виключенням тонкого замкненого каналу постійного перерізу, який включає контур Г. В залежності від характеру поля вектора швидкості, рідина в каналі буде або нерухомою, або буде циркулювати вздовж даного контуру.

Рис. 2.4

В якості міри цього руху візьмемо величину – добуток швидкості на довжину контуру – циркуляція вектора швидкості по контуру Г.

циркуляція V по Г=Vl.

Оскільки канал має постійний переріз, то , в той момент, коли відбулося затвердіння стінок, у кожної з частинок рідини в каналі буде погашена складова швидкості, перпендикулярна до стінки і залишиться лише складова швидкості, дотична до контуру – V_l (тангенціальна складова). З даною складовою пов’язаний елементарний імпульс dp_i, модуль якого для частинки рідини, яка знаходиться на відрізку каналу dl, має величину , де ρ – густина рідини, σ – площа поперечного перерізу каналу.

Так як рідина ідеальна, дія стінок може змінюватись лише вздовж dp_i, але не впливає на його величину. При цьому алгебраїчна сума імпульсів не може змінитися, тобто імпульс, набутий однією з частинок чисельно дорівнює імпульсу, який втрачений іншою частинкою, тобто:

,

де V – швидкість циркуляції, V_i – дотична складова швидкості рідини в об’ємі в момент часу перед затвердінням стінок каналу. Скоротивши на ρ і σ отримаємо:

циркуляція .

Аналогічно визначається циркуляція будь-якого вектора по довільному замкненому контуру. Тоді:

циркуляція .

Якщо розглядати ламінарний рух рідини в річці, то швидкість біля дна дорівнює нулю і поступово збільшується при наближенні до поверхні води і лінії вектора швидкості будуть прямолінійними. Разом з тим, в полі з вигнутими лініями циркуляція може дорівнювати нулю.

Циркуляція вектора характеризує властивості поля, які мають середні значення по поверхні. Щоб отримати середні значення в точці Р, потрібно зменшити розміри контуру Г, відповідно зменшиться циркуляція і площа контуру.

Відношення циркуляції вектора до площі S прямує до деякої границі, яка використовується для характеристики поля в точці Р.

Візьмемо контур Г, який лежить в площині, яка проходить через точку Р і розглянемо вираз:

, (2.10)

де S – площа, охоплена контуром Г. Для довільної площини дана границя не дає можливості визначити характеристику поля в точці Р, тому що залежить не лише від точки Р, а й від орієнтації контуру в просторі. Ця орієнтація може бути задана напрямом позитивної нормалі n до площі контуру Г. Позитивною вважають нормаль, яка зв’язана з напрямом обходу по контуру при інтегруванні правилом правого гвинта.

Визначаючи (2.10) в одній точці Р для різних напрямів нормалі отримаємо різні значення, причому для протилежних напрямів n вони відрізняються лише знаком. Для якогось напряму n величина (2.10) в даній точці буде максимальною. Таким чином, відношення (2.10) веде себе як проекція вектора на напрям n. Максимальне значення (2.10) визначає модуль даного вектора, а напрям позитивної нормалі, при якій досягається максимум дає напрям вектора. Даний вектор називається ротором, або вихром вектора V і позначається:

. (2.11)

Під розуміється проекція вектора на позитивну нормаль до площини S, охопленої контуром Г.

В тих місцях, де ротор відмінний від нуля, млинок рухається з тим більшою швидкістю, чим більша проекція ротора на вісь даного млинка.

Рис.2.5