Згасаючі та вимушені коливання

6.3.1. Згасаючі коливання. Добротність

У будь-якої коливальної системи є сили, які перешкоджають коливальному руху, наприклад, сили тертя в точці підвісу маятника, сили опору навколишнього середовища, тощо. Результуючою всіх цих систем називається затримуючою силою. Дія цієї сили викликає постійне затухання коливань. При малих швидкостях руху тіла, що знаходиться в коливальному русі затримуюча сила пропорційна швидкості руху:

r- постійна величина для системи – коефіцієнт опору.

На систему діє квазіпружна та затримуюча сила, тоді другий закон Ньютона має вигляд:

. (1)

Поділимо на масу і отримаємо:

,

; ,

- коефіцієнт затухання.

Маємо рівняння затухаючих коливань:

, (2)

- величина власної частоти осцилятора.

Так як затримуюча сила викликає постійне зменшення амплітуди коливань ( ), тоді розв’язок рівняння (2) будемо шукати:

, (3)

- частота затухаючих коливань, .

Продиференціюємо рівняння (3) і підставивши значення у рівняння (2), отримаємо:

.

Дане рівняння виходить при будь-яких значеннях t, якщо один з коефіцієнтів при тригонометричних функціях дорівнює нулю, тобто:

, (4)

так як , то можна скоротити, тоді:

. (5)

З рівняння (4) знаходимо інші величини якщо , то ,

. (6)

Із рівняння (6) знайдемо залежність амплітуди від часу:

.

Знайдемо вираз для частоти : з рівняння (4) знаходимо:

;

.

Підставляємо в рівняння (6.3.5) і отримаємо:

.

Звідси, скоротивши на А, маємо:

. (7)

Дане рівняння використовують для реальної системи при умові, що відношення , тобто .

При цих умовах, тобто при невеликому затуханні вільні затухаючі коливання описуються рівнянням:

. (8)

Графік даної функції має вигляд:

Рис. 1

При значенні t=0 початкове зміщення :

,

і початкова фаза задаються початковими умовами:

.

Період затухаючих коливань:

. (9)

Відношення значень амплітуд відповідає моментам часу, що відрізняються на величину періоду:

.

Це відношення – дикримент затухання, а логарифм даного відношення:

.

Це відношення – логарифмічний дикримент затухання.

Знайдемо деякий час , по закінченні якого амплітуда коливань зменшується в e=2,72 раз. Скористаємось формулою (6):

,

тому, що , - час релаксації.

З урахуванням рівняння (10) знаходимо, що:

.

Число коливань ( ) по закінченню яких амплітуда зменшується в e раз:

.

Величина

(11)

називають добротністю коливальної системи. Добротність пропорційна числу коливань, яке здійснює система за той час, по закінченню якого амплітуда зменшується в е раз.