Вимушені коливання

Вимушеними називають коливання, які здійснюються під дією якоїсь зовнішньої сили, яка змінюється в простому випадку по гармонійному закону:

.

Виникаючі при цьому коливання називають вимушеними. На дану частину тіла будуть діяти три сили: квазіпружна –kx, опору , зовнішня вимушена сила . З основного рівняння динаміки – другого закону Ньютона:

. (12)

Або розділивши на масу :

. (13)

Дослід показує, що по закінченню деякого часу, з початку дії вимушеної сили в системі встановлюється гармонічне коливання з частотою вимушеної сили, але які відстають по фазі від останнього на величину . Таким чином:

(14)

Продиференціюємо рівняння (14) по часу і знайдемо швидкість і прискорення:

. (15)

Підставимо вирази для початкового переміщення, швидкості і прискорення у рівняння (13). Сума трьох гармонічних функцій в лівій частині повинна дорівнювати силі . Враховуючи фазові зміщення між початковим відхиленням, швидкістю і прискоренням, дане рівняння за допомогою векторної діаграми за умови, що .

Рис. 2

Швидкість випереджає зміщення на величину . Прискорення випереджає переміщення на величину .

З даної діаграми за теоремою Піфагора слідує:

(16)

З даної діаграми також видно, що відставання переміщення по фазі від вимушеної сили:

. (17)

Рівняння (16) і (17) показують, що амплітуда коливань і відставання зміщення по фазі на визначається властивостями самого осцилятора, тобто але ніякими не початковими умовами.

6.3.3. Резонанс

Резонанс грає важливу роль в техніці.

Рис. 3

У даному випадку коефіцієнт затухання . За даним графіком видно, що залежність амплітуди від частоти має максимум при частоті, яку можна знайти з умови . Дану частоту називають резонансною частотою:

. (18)

Існуючий максимум амплітуди, який при цьому виникає, називається явищем резонансу – різке збільшення амплітуди під дією вимушеної сили, а графіки називаються резонансними кривими. Вираз для амплітуди при резонансі знайдемо підставивши рівняння (18) у (16):

. (19)

Чим менше затухання системи, тим більше виражений резонанс. Явище резонансу використовується в техніці коли потрібно збільшити коливання, або коли роблять так, щоб їх взагалі не було.

Залежність базового зсуву від частоти може бути показана кривими:

Рис. 4

При слабкому затуханні і значення фазового зсуву при резонансі практично дорівнює .

Намалюємо графік залежності середньої потужності вимушеної сили від частоти:

Рис. 5

Середнє значення буде максимальним при незалежно від коефіцієнта затухання . Важливим параметром даної резонансної кривої, яка характеризує гостроту резонансу є її ширина на її висоті. Можна показати, що при гострота резонансу

, (20)

Q – добротність осцилятора