Складання взаємно-перпендикулярних коливань

Нехай матеріальна точка приймає участь в двох взаємо перпендикулярних коливаннях:

- перше коливання , (1)

- друге коливання (2)

з однаковою частотою і різницею фаз (наприклад, коливання матеріальної точки відносно положення рівноваги в одному напрямі і коливання в напрямі, що перпендикулярний до першого). В даному випадку матеріальна точку буде рухатись по деякій криволінійній траєкторії, рівняння якої в параметричній формі виражається рівняннями (1) і (2). Якщо видалити з них час t, то отримаємо рівняння траєкторії, що виражається через різницю фаз . На основі рівняння (2) знаходимо:

.

Перенесемо перший доданок у ліву частину рівняння і піднесемо до квадрату ліву і праву частини, і отримаємо рівняння результуючого коливання:

. (3)

Рівняння (3) – рівняння еліпса, півосі А і В якого не співпадають з координатними осями x і y.

1.

.

Звідси маємо рівняння прямої:

. (4)

Тобто матеріальна точка рухається вздовж прямої, відстань її від початку координат . Тобто результуючий рух є гармонійним коливанням вздовж прямої рівняння (3) з деякою частотою і амплітудою .

Рис. 3

2.

рівняння (3) прийме вигляд:

.

Результуючий рух буде представляти собою гармонічний рух вздовж прямої

(5)

Рис. 4

3.

рівняння (3) прийме вигляд:

. (6)

Рівняння еліпса, що приведене до координатних осей x і y. Напівосі еліпса А і В відповідно дорівнюють амплітудам коливань, якщо амплітуди коливань однакові – еліпс перейде у коло.

Випадки відрізняються лише напрямком руху по еліпсу, що витікає з рівнянь (1) і (2):

Рис. 5

Якщо частоти коливань відрізняються на досить малу частоту , то їх можна розглянути як коливання з однією частотою, але з повільно змінюючоюся різницею фаз . Тоді рівняння (6.2.1) і (6.2.2):

Результуючий рух в даному випадку буде відбуватися по змінній кривій, форма якої залежить лише від різниці фаз, що змінюються в межах . Якщо частоти відрізняються незначно, то траєкторія приймає вигляд фігур Лісажу. При відношенні частот

Рис. 6

Лекція 11