Визначимо роботу рівнодійної сили F зовнішніх сил при переміщенні точки М на скінченому шляху між т. 
і т. 
деякої кривої траєкторії. Обчислимо криволінійний інтеграл (3), підставивши 
:
,
- імпульс цієї матеріальної точки.
Оскільки маса не залежить від швидкості, то 
і в цьому випадку робота А між точками 1 і 2:
. (10)
Рис. 3
В загальному випадку вектори 
і 
мають різні напрями і модуль вектора 
: 
. В цьому разі скалярний добуток 
, тоді рівняння (10) буде мати вигляд:
.
Таким чином, робота між т.1 і т.2:
. (11)
Величину, яка дорівнює 
, позначають W.
W – кінетична енергія матеріальної точки:
. (12)
Використовуючи (12), рівняння (11) запишемо:
. (13)
З рівняння (13) випливає теорема 1:
робота усіх зовнішніх сил, що діють на матеріальну точку дорівнює приросту кінетичної енергії цієї точки. Кінетична енергія – енергія, яка є мірою механічного руху, вимірюється роботою, яку може здійснити точка при її гальмуванні до повної зупинки (проти тормозної сили).
Якщо 
, то над матеріальною точкою виконується робота зовнішніх сил і її кінетична енергія збільшується.
Якщо 
, то матеріальна точка віддає свою кінетичну енергію, здійснюючи роботу проти зовнішніх сил.
Кінетична енергія системи матеріальних точок дорівнює сумі кінетичних енергій кожної точки окремо:
. (14)
теорема 2:
робота усіх зовнішніх сил, що діють на систему матеріальних тіл дорівнює приросту кінетичної енергії в цій системі.
Усі сили в механіці:
1. консервативні – сили, робота яких не залежить від шляху переходу системи матеріальних точок від початкового положення до кінцевого, а визначається тільки координатами цих положень. Наприклад, сила тяжіння, пружності, сили Кулона, гравітації.
Обчислимо роботу в колі центральних сил:
. (15)
Отже 
залежить від відстані 
і 
точок 1 і 2 до силового центра і не залежить від форми шляху, по якому точка перейшла із положення 1 в положення 2.
Робота консервативних сил має знак „-”.
Рис. 4
Робота консервативних сил по замкненому шляху(початкове і кінцеве значення збігаються) дорівнює нулю:
.
2. неконсервативні – усі сили, які не є консервативними, називаються неконсервативними. Наприклад, сила тертя, опору, Лоренца, гіроскопічні сили.
Систему матеріальних точок можна характеризувати потенціальною енергією, якщо на неї діють тільки консервативні сили.
Потенціальна енергія – частина механічної енергії системи, яка визначається взаємними положеннями матеріальних точок(конфігурацією системи) і характером сил взаємодії між ними.
Рис. 5
Якщо розглядати переміщення матеріальної точки в полі консервативних сил між положенням 1 і 2, які задані радіус-векторами 
і 
, то очевидно, що робота між цими точками:
. (16)
Сума робіт у правій частині рівняння не залежить від положення проміжної т. 
тільки у одному випадку: коли функція 
буде мати вигляд різниці значень у точках 1 і 2 однієї і тієї ж самої функції U, що залежить від положення точки в просторі, тобто:
.
Потенціальна енергія – функція U, яка залежить від положення точки. Різниця її значень між початковим і кінцевим положенням дорівнює роботі матеріальної точки між цими положеннями, тобто:
, (17)
. (18)
Покажемо, при якому зв’язку між силою і потенціальною енергією силове поле буде вважатися потенціальним. В консервативному полі сила при нескінчено малому переміщенні:
, (19)
dU – функція U=U(x,y,z).
Векторне рівняння у проекціях на вісі:
.
Звідси за властивістю повного диференціала:
. (20)
Оскільки вектор сили 
, то консервативна сила пов’язана з потенціальною енергією слідуючим відношенням:
. (21)
Вираз у дужках – вектор, який називається градієнтом скаляра U і позначається символом:
. (22)
В даних позначеннях рівняння (21) матиме вигляд:
. (23)
Мінус у рівнянні вказує на те, що сила в довільній точці поля завжди має такий напрям, в якому потенціальна енергія зменшується; в тих точках, де потенціальна енергія – мінімальна або максимальна, сила дорівнює нулю, тобто сума частинних похідних дорівнює нулю, і тоді:
. (24)
Повна механічна енергія системи дорівнює сумі енергій:
. (25)
