Закон збереження енергії

Розглянемо систему, яка складається з N матеріальних точок із масами m, які рухаються відповідно із швидкостями , і=1,2,...,N. В загальному випадку на матеріальну точку діють консервативні і неконсервативні сили; як внутрішні, так і зовнішні сили. Позначимо, що - рівнодійна внутрішніх і зовнішніх консервативних сил, а - рівнодійна внутрішніх і зовнішніх неконсервативних сил. Тоді 2-ий закон Ньютона для і-тої матеріальної точки:

(26)

Під дією сил кожна матеріальна точка за проміжок часу dt здійснює переміщення dr і змінює свою швидкість. Помножимо рівняння (26) на :

.

Якщо врахувати усі матеріальні точки, то:

. (27)

Якщо врахувати, що:

знаходимо, що перша сума дорівнює зміні кінетичної енергії всієї системи за проміжок часу dt, тобто:

,

друга сума – є сумарна робота усіх консервативних сил за цей час, яка дорівнює зміні потенціальної енергії взаємодій точок між собою і зовнішнім полем консервативних сил, тобто:

.

тоді:

,

і рівняння (27) має такий вигляд:

(28)

Якщо система рухається в полі тільки консервативних сил, то:

,

і тоді із рівняння (28) випливає, що dE=0 або E=W+U=const – Закон збереження механічної енергії у консервативній системі, де потенціальна і кінетична енергії можуть перетворюватися одна в одну, але в будь-який момент часу їхня сума залишиться сталою.