Обчислення значень логарифмічної функції

Для натуральних логарифмів чисел, близьких до одиниці, справедливе розкладання:

. (1)

Формула (1) малопридатна для обчислень, тому що діапазон чисел невеликий й, крім того, при , близькому до одиниці, ряд (1) сходиться повільно.

Уведемо більше зручну формулу для обчислень натуральних логарифмів чисел. Для цього скористаємося аналогом формули (1) для , а також зробимо заміну

. (2)

Одержимо (спробуйте це зробити самостійно) формулу:

(3)

Нехай - додатне число. Представимо його у вигляді

,

де

- ціле число й . Тоді, поклавши

,

де

,

і застосовуючи формулу (3), будемо мати:

.

Застосувавши позначення

,

одержимо:

. (4)

Можна показати, що при заданій точності процес підсумовування припиняється (досягається необхідна точність), як тільки

,

де

.

Приклад. Знайти з точністю до .

Розв’язок. Обчислення будемо виконувати із двома запасними знаками. Покладемо

.

Звідси , і

Маємо:

Використовуючи формулу (4), одержуємо:

.

Зауваження. Можна також обчислювати натуральні логарифми чисел, виходячи з представлення числа :

,

де - ціле число й .

Для обчислення десяткових логарифмів використовується формула

,

де

.