Для експонентної функції справедливий розклад
, (1)
інтервал збіжності якого .
Залишковий член ряду (1) має вигляд
. (2)
При більших по модулю значеннях ряд (1) мало придатний для обчислень. Тому звичайно діють у такий спосіб: нехай
,
де — ціла частина числа та — дробова частина його.
Маємо:
. (3)
Перший множник добутку (3) може бути знайдений за допомогою множення:
якщо ,
або
якщо .
Тут
причому або , для забезпечення заданої точності, варто взяти з досить великим числом десяткових знаків (у наш час число визначене з понад 300 десятковими знаками).
Що стосується другого множника добутку (3), то для обчислення його користуються наведеним вище розкладом
, (4)
який при утворює швидко збіжний ряд, тому що на підставі формули (2) для залишкового члена маємо оцінку
. (5)
Можна вивести (спробуйте це зробити самостійно) більш точну формулу для оцінки залишку при :
. (6)
Якщо похибка задана, то необхідне число членів можна знайти підбором, розв’язуючи нерівність
.
Можна довести, що якщо — задана припустима залишкова похибка й , то процес підсумовування варто припинити, як тільки буде виконана нерівність
,
де .
Іншими словами, процес підсумовування припиняється, якщо останній обчислений член по модулю не перевищує , при цьому
.
Приклад 1. Знайти з точністю до .
Розв’язок.
Послідовно маємо:
Округляючи суму до п'яти десяткових знаків після коми, одержимо:
, (10)
з похибкою .
Для обчислення значень загальної показової функції ( ) можна використати формулу
.