Обчислення значень показової функції

Для експонентної функції справедливий розклад

, (1)

інтервал збіжності якого .

Залишковий член ряду (1) має вигляд

. (2)

При більших по модулю значеннях ряд (1) мало придатний для обчислень. Тому звичайно діють у такий спосіб: нехай

,

де — ціла частина числа та — дробова частина його.

Маємо:

. (3)

Перший множник добутку (3) може бути знайдений за допомогою множення:

якщо ,

або

якщо .

Тут

причому або , для забезпечення заданої точності, варто взяти з досить великим числом десяткових знаків (у наш час число визначене з понад 300 десятковими знаками).

Що стосується другого множника добутку (3), то для обчислення його користуються наведеним вище розкладом

, (4)

який при утворює швидко збіжний ряд, тому що на підставі формули (2) для залишкового члена маємо оцінку

. (5)

Можна вивести (спробуйте це зробити самостійно) більш точну формулу для оцінки залишку при :

. (6)

Якщо похибка задана, то необхідне число членів можна знайти підбором, розв’язуючи нерівність

.

Можна довести, що якщо — задана припустима залишкова похибка й , то процес підсумовування варто припинити, як тільки буде виконана нерівність

,

де .

Іншими словами, процес підсумовування припиняється, якщо останній обчислений член по модулю не перевищує , при цьому

.

Приклад 1. Знайти з точністю до .

Розв’язок.

Послідовно маємо:

Округляючи суму до п'яти десяткових знаків після коми, одержимо:

, (10)

з похибкою .

Для обчислення значень загальної показової функції ( ) можна використати формулу

.