Обчислення значень аналітичної функції

Дійсна функція називається аналітичною в точці , якщо в деякому околі цієї точки функція розкладається в степеневий ряд (ряд Тейлора):

(1).

При = 0 одержуємо ряд Маклорена

. (2)

Різниця

називається залишковим членом й являє собою помилку при заміні функції поліномом Тейлора

.

Як відомо,

, (3)

де (грецька буква «тета»).

Зокрема, для ряду Маклорена (2) маємо:

. (4)

Є також інші форми залишкових членів.

Розклад функції в ряд Тейлора в багатьох випадках є зручним способом обчислення значень цієї функції.

Якщо відомо й потрібно знайти значення , де — «мале відхилення», то формулу (1) вигідно записувати у вигляді

, (5)

де

.

Приклад. Приблизно обчислити .

Розв’язок. Маємо:

(6)

Поклавши

,

послідовно одержимо:

Звідси, прийнявши , і з огляду на те, що

у силу формули (5) знаходимо:

, (7)

де

.

Очевидно

.

Округляючи до чотирьох знаків, запишемо:

.

Для порівняння приводимо табличне значення: