Дійсна функція називається аналітичною в точці , якщо в деякому околі цієї точки функція розкладається в степеневий ряд (ряд Тейлора):
(1).
При = 0 одержуємо ряд Маклорена
. (2)
Різниця
називається залишковим членом й являє собою помилку при заміні функції поліномом Тейлора
.
Як відомо,
, (3)
де (грецька буква «тета»).
Зокрема, для ряду Маклорена (2) маємо:
. (4)
Є також інші форми залишкових членів.
Розклад функції в ряд Тейлора в багатьох випадках є зручним способом обчислення значень цієї функції.
Якщо відомо й потрібно знайти значення , де — «мале відхилення», то формулу (1) вигідно записувати у вигляді
, (5)
де
.
Приклад. Приблизно обчислити .
Розв’язок. Маємо:
(6)
Поклавши
,
послідовно одержимо:
Звідси, прийнявши , і з огляду на те, що
у силу формули (5) знаходимо:
, (7)
де
.
Очевидно
.
Округляючи до чотирьох знаків, запишемо:
.
Для порівняння приводимо табличне значення: