Наближене знаходження сум числових рядів

Означення. Числовий ряд

(1)

називається збіжним, якщо існує границя послідовності його часткових сум

, (2)

де

.

Число називається сумою ряду.

Таким чином, збіжність ряду (1) еквівалентна збіжності послідовності його часткових сум. Відповідно до критерію Коші [1] ця послідовність сходиться тоді й тільки тоді, коли для кожного існує таке, що

при та довільному . З формули (2) одержуємо:

(3)

де — залишок ряду, причому при .

Для знаходження суми збіжного ряду (1) із заданою точністю потрібно вибрати число доданків настільки великим, щоб мала місце нерівність

. (4)

Тоді часткова сума приблизно може бути прийнята за точну суму ряду (1).

Для оцінки залишку ряду (1)

корисні наступні теореми, які ми приводимо без доведення.

Рис. 2.

Теорема 1. Якщо члени ряду (1) являють собою відповідні значення позитивної монотонно спадної функції , тобто

(9)

то (мал. 2)

.

Теорема 2. Якщо ряд (1) – знакозмінний:

і модулі його членів монотонно спадають, то

та

.

Приклад. Знайти суму ряду

(10)

з точністю до 0,01.

Розв’язок.

Члени ряду (10) являють собою відповідні значення монотонно спадної функції

.

Тому для -го залишку ряду

маємо оцінку

.

Розв’язуючи нерівність

,

одержимо:

.

Приймемо .

Матимемо:

.