ОБЧИСЛЕННЯ ЗНАЧЕНЬ ФУНКЦІЙ
При обчисленні за допомогою комп'ютерів значень функцій, заданих формулами, далеко не байдуже, у якому виді записана відповідна формула. Математично еквівалентні вирази часто виявляються нерівноцінними з погляду наближених обчислень. Тому виникає практично важлива задача про знаходження для елементарних функцій найбільш зручних аналітичних виразів. Обчислення значень функцій звичайно зводиться до послідовності елементарних арифметичних дій. З огляду на обмеженість об'єму пам'яті комп'ютера, бажано ці операції розбивати на повторювані цикли. Нижче ми розглянемо деякі типові прийоми обчислень.
Обчислення значень полінома. Схема Горнера
Нехай даний поліном -й степеня
(1)
с дійсними коефіцієнтами . Нехай потрібно знайти значення цього полінома при (грецька буква «ксі»):
. (2)
Обчислення числа зручніше за все робити в такий спосіб. Представимо формулу (2) у вигляді:
.
Звідси, послідовно обчислюючи числа
знаходимо .
Неважко довести (спробуйте це зробити самостійно), що числа є коефіцієнтами полінома , отриманого як частку при діленні даного полінома на двочлен .
Таким чином, формули (3) дозволяють, не роблячи ділення, визначати коефіцієнти частки ,а також остачу . Практично обчислення здійснюються за наступною схемою, називаною схемою Горнера:
Приклад 1. Обчислити значення полінома
при .
Розв’язок. Складемо схему Горнера:
Зауваження. Користуючись схемою Горнера, можна одержати границі дійсних коренів даного полінома .
Припустимо, що при всі коефіцієнти в схемі Горнера невід’ємні, причому перший коефіцієнт додатний, тобто
. (6)
Тоді можна стверджувати, що всі дійсні корені полінома розташовані не правіше , тобто (мал. 1).
Рис. 1.
Справді, тому що
,
то при кожному в силу умови (6) будемо мати ,тобто будь-яке число, більше , завідомо не є коренем полінома . Таким чином, маємо верхню оцінку для дійсних коренів полінома.
Для одержання нижньої оцінки коренів складемо поліном
.
Для цього нового полінома знаходимо таке число , щоб всі коефіцієнти у відповідній схемі Горнера були невід’ємні, за винятком першого, котрий, очевидно, буде позитивним. Тоді відповідно до попередніх міркувань для дійсних коренів полінома , очевидно, рівних ,маємо нерівність .
Отже, . Таким чином, ми одержали нижню границю дійсних коренів полінома . Звідси випливає, що всі дійсні корені полінома розташовані на відрізку .
Приклад 2. Знайти границі дійсних коренів полінома
.
Розв’язок. Підрахуємо значення полінома , наприклад, при . Користуючись схемою Горнера, одержимо:
Тому що всі коефіцієнти , то дійсні корені полінома (якщо вони існують) задовольняють нерівності . Верхня границя дійсних коренів знайдена. Перейдемо до оцінки нижньої границі. Складемо новий поліном:
.
Підраховуючи значення полінома ,наприклад, при , маємо:
Всі коефіцієнти , виходить, .
Отже, всі дійсні корені даного полінома перебувають усередині відрізка .