EN NS S3S2S1 = [16 – (МА + МВ)]5=[16 - (8 ¸ 1)]5=
= (8 ¸ 15)5 = 0 1 000 ¸ 0 1 111.
Тобто за відсутності негативного переповнення на виходах суматора (рис.1.44) формується код:
EN NS = 01.
Отже, згідно приведених міркувань при додаванні чисел одного знака переповнення розрядної сітки суматора з позитивним нулем (ПП(А+В)) потрібно обчислювати за формулою:
ПП(А+В) = ППП(А+В) + НПП(А+В) =
= 
, (1.132)
причому ППП(А+В) = ПП(А+В) × EN; НПП(А+В) = ПП(А+В) × 
.
Остаточна сума чисел 
за відсутності переповнення згідно з (1.131) формується за правилом:
= (( EN NS S3S2S1)m16 + 1000)m16 =
= NS S3S2S1 + 1000)m16 = 
S3S2S1.
У зв’язку з тим, що за відсутності переповнення (за ознакою ПП = 0) на виходах суматора EN NS виникає код 10 або 01, тобто EN ≠ NS, остаточну суму (А + В)ПН можна формувати за правилом (рис.1.44):
= EN S3S2S1, (1.133)
де ЕN – визначення знака функції через вихідне перенесення суматора EN.
На завершення розглянемо типові приклади додавання чисел з позитивним нулем (рис.1.44).
Припустімо, що потрібно обчислити суму 
за таких аргументів: А = - 001; В = -101. За цих умов на виходах SMПН(А+В) (рис.1.44) отримаємо:
EN NS S3S2S1 = 
+ 
=( 0 111 + 0 010)5 = 0 1 010;
ЕN = 0; NS = 1; S3S2S1 = 010;
ПП(А+В) = 
= EN S3S2S1 = 0 010 = (-110) 
.
Припустімо далі, що потрібно обчислити у функцію (А+В)ПН за таких аргументів: А = - 110; В = -111. За цих умов отримаємо:
EN NS S3S2S1 = + = ( 0 010 + 0 001)5 = 0 0 011;
ПП(А+В) = 
ППП(А+В) = ПП(А+В) 
НПП(А+В) = ПП(А+В) 
Таким чином, за цих аргументів виникає ознака НПП=1, тобто виникає переповнення розрядної сітки суматора SMПН(А+В).
Нехай далі операнди суматора SMПН(А+В) (рис.1.44) мають значення: А= + 110; В = +101.
За цих аргументів двійкові коди суматора та ознаки операції набувають таких значень:
EN NS S3S2S1 = + = ( 1 110 + 1 101)5 = 1 1 011;
ПП(А+В) = 
ППП(А+В) = ПП(А+В) 
НПП(А+В) = ПП(А+В) 
Таким чином, за цих значень аргументів виникає негативне перепов-нення розрядної сітки суматора SMПН(А+В).
Побудуємо тепер правила віднімання чисел з позитивним кодуванням нуля.
За алгоритмом визначення коду з позитивним нулем різниця чисел 
повинна обчислюватися за формулою:
= 8 + (А - В).
Для спрощення схеми формувача різниці чисел (А-В) 
формулу перетворимо наступним чином:
= (8 +А) - (8 + В) + 8 = 
- 
+ 8 = = [ +(15 - )+1+8 ]m16 
, (1.134)
де 
- інверсне значення коду .
Через те, що аргументи функцій і визначені у проміжку число-вої прямої між (-8) і (+7), функція 
також існує у діапазоні від (-8) до (+7). З урахуванням такого обмеження, очевидно, позитивне переповнення функції виникає у тому випадку, коли А = + МА і В = - МВ, тобто, коли (А - В) = (МА + МВ) і сумісно утворюють (МА+ МВ) = (8 ¸ 14). У цьому випадку повна п’ятирозрядна сума на виходах суматора (рис.1.45) складає код:
EN NS S3S2S1 = 
= (8 – МА) +15 - (8 - МВ) + 1 =
= 16 + (МА + МВ) = 16 + (8 ¸ 14) = 24 ¸ 30 = 1 1 000 ¸ 1 1 110.
Таким чином, за наявності ознаки ППП(А-В)= 1 маємо EN NS = 11, тобто функцію ППП(А-В) можна обчислювати за формулою:
ППП(А-В) = EN NS .
Рисунок 1.45 – Структурна схема суматора для віднімання
чисел у кодах з позитивним нулем(SMПН(А-В))
Негативне переповнення (НПП) функції , очевидно, може виникати у тому випадку, коли А = - МА, В = + МВ, (А - В) = - (МА + МВ) = = (-9) ¸ (-16). Тоді на виходах суматора ( ) отримаємо двійковий рядок цифр (рис.1.45) :
EN NS S3S2S1 = [16 – (МА + МВ)]5 =
= [16 + (9 ¸ 16)]5 = [7 ¸ 0]5 = 0 0 111 ¸ 0 0 000.
Таким чином, за наявності ознаки НПП = 1 маємо EN NS = 00, тобто функцію НПП(А-В) можна визначити за формулою:
НПП(А-В) = 
.
Із цих міркувань випливає:
ПП(А-В) = ППП(А-В) + НПП(А-В) = , (1.135)
причому: ППП(А-В) = ПП(А-В) 
, НПП(А-В) = ПП(А-В) 
.
Таким чином, згідно з (1.132) і (1.135) ознака переповнення розрядної сітки при додаванні і відніманні чисел з позитивним нулем визначається еквівалентними булевими виразами, що спрощує побудову об’єднаного блока SM ПН(А+В) / SM ПН(А-В).
Остаточна різниця згідно з (1.134) формується за правилом :
= [(EN NS S3S2S1)m16 + 1000]m16 =
= [ NS S3S2S1 + 1000]m16 = 
.
Через те, що за відсутності переповнення суматора 
(ENNS дорівнює 01 або 10), різницю припустимо формувати за співвідно-шенням:
= ЕN S3S2S1,
яка збігається з відповідним правилом (1.133).
На завершення розглянемо типові приклади віднімання чисел з позитивним нулем (рис.1.45).
Припустімо, що потрібно обчислити різницю за таких аргументів: А=- 010; В = -110. За цих умов на виходах SMПН(А-В) (рис.1.45) отримаємо:
EN NS S3S2S1 = [ 
]5 = [ 0 110 + 
+ 0001]5 =
= [ 0 110 + 0 101 + 0001]5 = 0 1 100;
NS = 1; EN = 0; S3S2S1 = 100; ПП(А-В) =
= ЕN S3S2S1 = 0 100 = (-100) .
Припустімо далі, що потрібно обчислити різницю на виходах SMПН(А-В) (рис.1.45) за таких аргументів: А = + 011; В = -111. За цих умов отримаємо:
EN NS S3S2S1 = [ 
]5 =[ 1 011 + 
+ 0001]5 =
= [ 1 011 + 1 110 + 0001]5 = 265 = 1 1 010;
NS = 1; EN = 1; S3S2S1 = 010;
ПП(А-В) =
Таким чином, за цих аргументів виникає ознака ППП(А-В)=1 суматора SMПН(А-В).
Нехай операнди суматора SM ПН(А-В) мають значення: А=-101, В= +111. За цих аргументів на виходах SMПН(А-В) (рис.1.45) отримаємо:
EN NS S3S2S1 = [ ]5 =[ 0 011 + 
+ 0001]5 =
= [ 0 011 + 0 000 + 0001]5 = ( 0 100)5 = 0 0 100;
NS = 0; EN = 0; S3S2S1 = 100;
ПП(А-В) =
Таким чином, операція віднімання чисел за цих умов призвела до негативного переповнення SMПН(А-В).
1.6 Теоретичні засади та структура арифметичних пристроїв
для додавання і віднімання чисел у кодах з негативним нулем
Розглянемо операції додавання і віднімання чисел з негативним нулем 
і 
:
де 
МА, МВ – відповідно модулі чисел А і В.
Зазначимо, що область значень чотирирозрядних функцій і , утворюють множину кодів від 0000 до 1111, а область їх визначення – множину чисел від (-7) до (+8).
Побудуємо схеми для обчислення суми (А+В) чисел у кодах з негативним нулем.
Чотирирозрядний код суми чисел (А+В) з негативним нулем визначимо за загальним правилом:
= 7 + (А + В).
Звісно, що вираз можна подати також у вигляді:
= (7 + А) + (7 + В) – 7 =
= ( + - 7 + 16)m16 =(( + + 1)m16 + 1000) m16 (1.136)
Очевидно, що за допустимих значень аргументів А і В (які обмежені діапазоном числової осі від (-7) до (+8)) їх сума (А + В) може перевищувати область визначення аргумента функції , яке також обмежене мно-жиною чисел від (-7) до (+8). Визначимо ознаки переповнення функції (1.136).
Передусім зазначимо, що за допустимих значень аргументів А і В їх сума (А+В) може змінюватись в межах від (+8) до (+16), тобто перевищувати область визначення функції для додатних значень аргументу (А+В). За цих умов при обчисленні функції за формулою (1.136) потрібно формувати ознаку переповнення (ПП(А+В)) і сигнал позитивного переповнення (ППП(А+В)) розрядної сітки.
Негативне переповнення функції (1.136) (НПП(А+В)) виникає за тих допустимих від’ємних значень аргументів А і В, які сумісно формують множину чисел від (-8) до (-14). За цих умов при обчисленні за алгоритмом (1.136) потрібно сумісно формувати ознаку переповнення (ПП(А+В)) і сигнал негативного переповнення (НПП(А+В)) розрядної сітки.
Для виявлення змінних обчислювача за формулою (1.136), які визначають ознаку переповнення розрядної сітки, розглянемо його роботу за умови, коли сума чисел (А + В) утворює ознаку позитивного або негативного переповнення функції .
У разі позитивного переповнення функції операнди і суматора (рис.1.46) являють собою зображення виключно додатних чисел А = + МА і В = + МВ, тому повна п’ятирозрядна сума EN NS S3S2S1 доданків і за позитивних операндів А і В набуває значення:
EN NS S3S2S1 = [ 
]5 =
=7 + А + 7 + В + 1 =7 + МА + 7 + МВ + 1 =15 + (МА + МВ).
За умови позитивного переповнення суматора з негативним нулем, коли (А+В) = (9 ¸ 16), отримаємо:
EN NS S3S2S1 = 15 + (МА + МВ) =
= 15 + (9 ¸ 16) = 24 ¸ 30 = 1 1 111 ¸ 1 1 110.
Таким чином, за умови позитивного переповнення SM НН маємо:
ППП(А+В) = 
.
При обчисленні суми від’ємних чисел А і В за формулою (1.136) може виникати негативне переповнення суматора (рис.1.46). У цьому випадку операнди А і В мають виключно від’ємні значення (А = - МА, В = - МВ), причому якщо ознака НПП(А+В) = 1, то сума модулів чисел (А+В) являє множину чисел від (-8) до (-14). Звідси отримаємо:
EN NS S3S2S1 = (7 – МА) +(7 - МВ) + 1 =15 – (МА + МВ) =
= 15 - (8 ¸ 14) = (7 ¸ 1)5 = 0 0 111 ¸ 0 0 001.
Таким чином, маємо:
НПП(А+В) = .
Отже, згідно з приведених міркувань при додаванні чисел одного знака переповнення суматор з негативним нулем (SMНН) потрібно обчислювати за формулою:
ПП(А+В) = ППП(А+В) 
НПП(А+В) = 
, (1.137)
причому ППП(А+В) = ПП(А+В) , НПП(А+В) = ПП(А+В) .
Рисунок 1.46 - Структурна схема для додавання
чисел у кодах з негативним нулем
Остаточна сума чисел за відсутності переповнення згідно з (1.136) формується за правилом:
= [(EN NS S3S2S1)m16 + 1000]m16 =
= [ NS S3S2S1 + 1000]m16 = 
.
У зв’язку з тим, що за відсутності переповнення розрядної сітки (ознака ПП=0) на виводах суматора ЕN ¹ NS (ЕN NS дорівнює 01 або 10), остаточну суму (А+В)ПН, можна формувати за правилом:
= EN S3S2S1, (1.138)
де EN – визначення знакового розряду функції 
через вихідне перенесення суматора EN.
