Основные сведения из теории автоматического управления

Наряду с системами автоматического регулирования с сосре­доточенными параметрами часто встречаются на практике системы с запаздыванием. Примеры звеньев запаздывания можно встретить в самых различных технологических конвей­ерных установках, в системах магнитной записи и воспроизве­дения, в гидравлических системах и т.д.

Передаточная функция звена чистого запаздывания имеет вид:

W(p)=е^-τр(1)

Звено чистого запаздывания является неминимально-фазо­вым устойчивым звеном. Условием устойчивости системы автоматического регулирова­ния с запаздыванием является отсутствие корней характерис­тического уравнения в правой полуплоскости переменного р. В этом отношении системы с запаздыванием не отличаются от систем без запаздывания. Однако характеристическое уравне­ние для системы с запаздыванием - трансцендентное. Это делает невозможным применение алгебраических критериев устойчивости. Использование принципа аргумента при p=jω приводит к обычной формулировке критерия Михайлова.

Для системы с запаздыванием сохраняется также формули­ровка критерия Найквиста для частотного годографа. В тех случаях, когда передаточная функция разомкнутой системы может быть представлена в виде

W(p)= е^-τр (2)

применение критерия Найквиста для определения устойчивости является более удобным. Частотная передаточная функция записывается в следующем виде

е^-jωτ (3)

Из (3) видно, что для построения амплитудно-фазовой ха­рактеристики системы с запаздыванием следует построить го­дограф системы без запаздывания

и каждый вектор этого годографа повернуть по часовой стрел­ке на угол ωτ (см. рисунок.1 )

Рисунок 1. Годограф системы с запаздыванием

При возрастании ω угол поворота увеличивается. Поскольку при больших значениях частоты, модуль W₀(jω) обычно мал, то годограф системы с запаздыванием закручивается вокруг нуля.

Так как годограф системы с запаздыванием закручивается вокруг нуля, то это ухудшает условия устойчивости системы, поскольку амплитудно-фазовая характеристика приближается к точке (-1; j0). По амплитудно-фазовой характеристике сис­темы без запаздывания W₀(jω) можно легко найти критическое время запаздывания τ_кр т. е. такое значение времени запазды­вания, при котором система попадает на границу устойчивости.

Для определения критического времени запаздывания следует:

1. построить амплитудно-фазовую характеристику системы без запаздывания (синяя кривая на рисунке 2);

Рисунок 2. Амплитудно-фазовая характеристика

2. из точки -1, j0 провести дугу единичного радиуса (красная кривая на рисунке 2) до пересечения с амплитудно-фазовой характеристикой;

3. из начала координат в точку пересечения дуги с амплитуд­но-фазовой характеристикой провести прямую и измерить угол φ;

4. в точке пересечения дуги с амплитудно-фазовой характе­ристикой отсчитать значение частоты ω_кр, называемой в этом случае критической;

5. по выражению 4 определить критическое время запазды­вания τ_кр.

(4)

Полные сведения о системах с запаздыванием, методах анализа и расчета изложены в соответствующей литературе.